Διάλυση του δυαδικού μοντέλου για να εκτιμήσετε μια επιλογή

Στον χρηματοπιστωτικό κόσμο, τα μοντέλα Black-Scholes και binomial options είναι δύο από τις σημαντικότερες έννοιες της σύγχρονης οικονομικής θεωρίας. Και οι δύο χρησιμοποιούνται για να εκτιμήσουν μια επιλογή, και το καθένα έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα.

Μερικά από τα βασικά πλεονεκτήματα της χρήσης του διωνυμικού μοντέλου είναι:

• μια προβολή πολλαπλών περιόδων
• διαφάνεια
• ικανότητα ενσωμάτωσης πιθανοτήτων

Σε αυτό το άρθρο, θα διερευνήσουμε τα πλεονεκτήματα της χρήσης του δυαδικού μοντέλου αντί του μοντέλου Black-Scholes και θα παράσχουμε ορισμένα βασικά βήματα για την ανάπτυξη του μοντέλου και την εξήγηση του τρόπου με τον οποίο χρησιμοποιείται.

Προβολή πολλαπλών χρόνων

Το διωνυμικό μοντέλο παρέχει μια άποψη πολλαπλών περιόδων για την υποκείμενη τιμή του ενεργητικού καθώς και την τιμή του δικαιώματος προαίρεσης. Σε αντίθεση με το μοντέλο Black-Scholes, το οποίο παρέχει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα βασισμένο σε εισόδους, το διωνυμικό μοντέλο επιτρέπει τον υπολογισμό του περιουσιακού στοιχείου και της επιλογής για πολλαπλές περιόδους μαζί με το εύρος πιθανών αποτελεσμάτων για κάθε περίοδο (βλ. Παρακάτω).

Το πλεονέκτημα αυτής της προβολής πολλαπλών περιόδων είναι ότι ο χρήστης μπορεί να απεικονίσει την μεταβολή της τιμής του περιουσιακού στοιχείου από περίοδο σε περίοδο και να αξιολογήσει την επιλογή βάσει αποφάσεων που γίνονται σε διαφορετικά χρονικά σημεία. Για μια επιλογή που βασίζεται στις ΗΠΑ, η οποία μπορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγμή πριν από την ημερομηνία λήξης, το διωνυμικό μοντέλο μπορεί να παρέχει πληροφορίες σχετικά με το πότε η άσκηση της επιλογής μπορεί να είναι χρήσιμη και πότε πρέπει να τηρείται για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Με την εξέταση του διωνυμικού δένδρου των αξιών, ένας έμπορος μπορεί να καθορίσει εκ των προτέρων, όταν μπορεί να λάβει απόφαση για μια άσκηση. Εάν η επιλογή έχει θετική αξία, υπάρχει η δυνατότητα άσκησης, ενώ εάν το δικαίωμα επιλογής έχει τιμή μικρότερη από μηδέν, πρέπει να τηρείται για μεγαλύτερες περιόδους.

Διαφάνεια

Σε στενή σχέση με την επανεξέταση πολλαπλών περιόδων είναι η ικανότητα του διωνυμικού μοντέλου να παρέχει διαφάνεια στη βασική αξία του περιουσιακού στοιχείου και την επιλογή καθώς ο χρόνος εξελίσσεται. Το μοντέλο Black-Scholes έχει πέντε εισόδους:

1. Ο συντελεστής χωρίς κινδύνους
2. Η τιμή άσκησης
3. Η τρέχουσα τιμή του περιουσιακού στοιχείου
4. Χρόνος μέχρι τη λήξη
5. Η τεκμαρτή μεταβλητότητα της τιμής του ενεργητικού

Όταν αυτά τα σημεία δεδομένων εισάγονται σε ένα μοντέλο Black-Scholes, το μοντέλο υπολογίζει μια τιμή για την επιλογή, αλλά οι επιπτώσεις αυτών των παραγόντων δεν αποκαλύπτονται σε μια περίοδο σε περίοδο. Με το διωνυμικό μοντέλο, ένας έμπορος μπορεί να δει την αλλαγή στην τιμή του υποκείμενου στοιχείου από περίοδο σε περίοδο και την αντίστοιχη αλλαγή στην τιμή του δικαιώματος προαίρεσης.

Ενσωμάτωση πιθανοτήτων

Η βασική μέθοδος υπολογισμού του δυαδικού μοντέλου επιλογής είναι να χρησιμοποιηθεί η ίδια πιθανότητα σε κάθε περίοδο για επιτυχία και αποτυχία έως ότου λήξει η επιλογή. Ωστόσο, ένας έμπορος μπορεί να ενσωματώσει διαφορετικές πιθανότητες για κάθε περίοδο βάσει νέων πληροφοριών που αποκτώνται με την πάροδο του χρόνου.

Για παράδειγμα, μπορεί να υπάρξει πιθανότητα 50/50, ώστε η τιμή του υποκείμενου στοιχείου ενεργητικού να μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί κατά 30% σε μία περίοδο. Για τη δεύτερη περίοδο, ωστόσο, η πιθανότητα αύξησης της υποκείμενης τιμής του ενεργητικού μπορεί να αυξηθεί σε 70/30. Για παράδειγμα, εάν ένας επενδυτής αξιολογεί ένα πετρέλαιο, αυτός ο επενδυτής δεν είναι σίγουρος για την αξία αυτού του πετρελαίου καλά, αλλά υπάρχει μια πιθανότητα 50/50 ότι η τιμή θα αυξηθεί. Εάν οι τιμές του πετρελαίου αυξάνονται κατά την Περίοδο 1 καθιστώντας το πετρέλαιο πολύ πιο πολύτιμο και τα θεμελιώδη στοιχεία της αγοράς δείχνουν τώρα τη συνεχή αύξηση των τιμών του πετρελαίου, η πιθανότητα περαιτέρω ανατίμησης της τιμής μπορεί τώρα να είναι 70%. Το διωνυμικό μοντέλο επιτρέπει αυτή την ευελιξία. το μοντέλο Black-Scholes δεν το κάνει.

Ανάπτυξη του μοντέλου

Το απλούστερο διωνυμικό μοντέλο θα έχει δύο αναμενόμενες αποδόσεις, των οποίων οι πιθανότητες προστίθενται έως και 100 τοις εκατό. Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν δυο πιθανά αποτελέσματα για το πετρέλαιο σε κάθε χρονική στιγμή. Μια πιο σύνθετη έκδοση θα μπορούσε να έχει τρία ή περισσότερα διαφορετικά αποτελέσματα, εκάστη των οποίων δίνεται μια πιθανότητα εμφάνισης.

Για να υπολογίσουμε τις αποδόσεις ανά περίοδο που αρχίζει από το μηδέν (τώρα), πρέπει να προσδιορίσουμε την αξία του υποκείμενου στοιχείου μία περίοδο από τώρα. Σε αυτό το παράδειγμα, υποθέτουμε τα εξής:

• Τιμή υποκείμενου στοιχείου (P): $ 500
• Τιμή άσκησης επιλογής κλήσης (K): $ 600
• Ποσοστό άνευ κινδύνου για την περίοδο: 1 τοις εκατό
• Αλλαγή τιμής κάθε περίοδο: 30% πάνω ή κάτω

Η τιμή του υποκείμενου στοιχείου ενεργητικού είναι $ 500 και, κατά την περίοδο 1, μπορεί να αξίζει $ 650 ή $ 350. Αυτό θα ισοδυναμούσε με μια αύξηση ή μείωση κατά 30% σε μια περίοδο. Δεδομένου ότι η τιμή εξάσκησης των δικαιωμάτων προαίρεσης που έχουμε στην κατοχή μας είναι $ 600, αν το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο καταλήξει να είναι μικρότερο από $ 600, η ​​αξία του δικαιώματος αγοράς θα είναι μηδέν. Από την άλλη πλευρά, αν το υποκείμενο στοιχείο υπερβαίνει την τιμή άσκησης των $ 600, η ​​αξία του δικαιώματος προαίρεσης θα είναι η διαφορά μεταξύ της τιμής του υποκείμενου στοιχείου και της τιμής άσκησης. Ο τύπος για αυτόν τον υπολογισμό είναι [max (PK), 0].

max [(P-K), 0] όπου: P = Τιμή του υποκείμενου στοιχείουK = Τιμή άσκησης επιλογής \ begin { \\ & \ textbf {where:} \\ & P = \ text {Τιμή του υποκείμενου στοιχείου} \\ & K = \ text { 0] όπου: P = Τιμή υποκείμενου στοιχείουK = Τιμή άσκησης δικαιωμάτων προαίρεσης

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει πιθανότητα 50 τοις εκατό να ανεβαίνουν και 50 τοις εκατό πιθανότητες να πέσουν κάτω. Χρησιμοποιώντας τις τιμές της περιόδου 1 ως παράδειγμα, αυτό υπολογίζεται ως

Μέγιστο [($ 650- $ 600), 0] * 0.5 + μέγιστο [($ 350- $ 600), 0] * 0.5 = 50 $ 0.5 + $ 650 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} 0.5+ \ max {\ left [\ left * 0.5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} max ($ 650- $ 600), 0] * 0.5 + 25 δολάρια

Για να λάβουμε την τρέχουσα αξία της επιλογής κλήσης, πρέπει να εκπτώσουμε τα $ 25 στην Περίοδο 1 πίσω στην Περίοδο 0, η οποία είναι

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24.75 \ $ 25 / \ αριστερά (1 + 1 \% \ δεξιά) = \ $ 24.75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24.75

Τώρα μπορείτε να διαπιστώσετε ότι εάν αλλάξουν οι πιθανότητες, η αναμενόμενη αξία του υποκείμενου στοιχείου θα αλλάξει επίσης. Εάν η πιθανότητα πρέπει να αλλάξει, μπορεί επίσης να αλλάξει για κάθε επόμενη περίοδο και δεν πρέπει απαραιτήτως να παραμείνει η ίδια καθ 'όλη τη διάρκεια.

Το διωνυμικό μοντέλο μπορεί να επεκταθεί εύκολα σε πολλαπλές περιόδους. Αν και το μοντέλο Black-Scholes μπορεί να υπολογίσει το αποτέλεσμα μιας παρατεταμένης ημερομηνίας λήξης, το διωνυμικό μοντέλο επεκτείνει τα σημεία απόφασης σε πολλαπλές περιόδους.

Χρήσεις για το διωνυμικό μοντέλο

Εκτός από τη χρήση του ως μεθόδου υπολογισμού της αξίας μιας επιλογής, το διωνυμικό μοντέλο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για έργα ή επενδύσεις με υψηλό βαθμό αβεβαιότητας, αποφάσεις κεφαλαίου-προϋπολογισμού και κατανομής πόρων, καθώς και έργα με πολλαπλές περιόδους ή ενσωματωμένη επιλογή να συνεχίσει ή να εγκαταλείψει το έργο σε συγκεκριμένα χρονικά σημεία.

Ένα απλό παράδειγμα είναι ένα έργο που συνεπάγεται γεώτρηση πετρελαίου. Η αβεβαιότητα αυτού του είδους του έργου, είτε η γη που έχει τρυπηθεί έχει καθόλου λάδι, το ποσό του πετρελαίου που μπορεί να τρυπηθεί, αν βρεθεί πετρέλαιο και η τιμή με την οποία μπορεί να πωληθεί το λάδι μόλις εξαχθεί.

Το διωνυμικό μοντέλο επιλογής μπορεί να βοηθήσει στην λήψη αποφάσεων σε κάθε σημείο του έργου γεώτρησης πετρελαίου. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι αποφασίζουμε να προχωρήσουμε σε αναζήτηση, αλλά το πετρέλαιο θα είναι κερδοφόρο μόνο εάν βρούμε αρκετό πετρέλαιο και η τιμή του πετρελαίου υπερβαίνει ένα ορισμένο ποσό. Θα χρειαστεί μια ολόκληρη περίοδος για να καθορίσουμε πόσο λάδι μπορούμε να εξαγάγουμε καθώς και την τιμή του πετρελαίου εκείνη τη στιγμή. Μετά την πρώτη περίοδο (για ένα έτος, για παράδειγμα), μπορούμε να αποφασίσουμε με βάση αυτά τα δύο σημεία δεδομένων αν θα συνεχίσουμε να δουλεύουμε ή να εγκαταλείψουμε το έργο. Αυτές οι αποφάσεις μπορούν να γίνουν συνεχώς μέχρις ότου επιτευχθεί ένα σημείο όπου δεν υπάρχει αξία στη διάτρηση, οπότε το φρεάτιο θα εγκαταλειφθεί.

Η κατώτατη γραμμή

Το διωνυμικό μοντέλο παρέχει μια πιο λεπτομερή εικόνα, επιτρέποντας τις πολυετείς απόψεις της υποκείμενης τιμής του περιουσιακού στοιχείου και της τιμής του δικαιώματος προαίρεσης για πολλαπλές περιόδους, καθώς και το φάσμα των πιθανών αποτελεσμάτων για κάθε περίοδο. Ενώ και το μοντέλο Black-Scholes και το διωνυμικό μοντέλο μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκτιμήσουν τις επιλογές, το διωνυμικό μοντέλο έχει ένα ευρύτερο φάσμα εφαρμογών, είναι πιο διαισθητικό και είναι ευκολότερο στη χρήση.