Έλεγχος υποθέσεων σε οικονομικά θέματα: Έννοια και παραδείγματα

Ο σύμβουλος επενδύσεων σας προτείνει ένα μηνιαίο επενδυτικό σχέδιο εισοδήματος που υπόσχεται μια μεταβλητή απόδοση κάθε μήνα. Θα επενδύσετε σε αυτό μόνο εάν είστε βέβαιοι για ένα μέσο εισόδημα κατά μέσο όρο $ 180. Ο σύμβουλός σας σας λέει επίσης ότι για τους τελευταίους 300 μήνες, το πρόγραμμα είχε επενδυτικές αποδόσεις με μέση τιμή $ 190 και τυπική απόκλιση ύψους $ 75. Πρέπει να επενδύσετε σε αυτό το πρόγραμμα; Η δοκιμή υποθέσεων αφορά τη βοήθεια για τη λήψη τέτοιων αποφάσεων.

Αυτό το άρθρο υποθέτει την εξοικείωση των αναγνωστών με τις έννοιες ενός κανονικού πίνακα διανομής, του τύπου, της τιμής p και των συναφών θεμελιωδών στοιχείων των στατιστικών.

Τι είναι η δοκιμή των υποθέσεων;

Η δοκιμή υποθέσεων ή σημαντικών αποτελεσμάτων είναι ένα μαθηματικό μοντέλο για τον έλεγχο μιας αξίωσης, ιδέας ή υπόθεσης σχετικά με μια παράμετρο ενδιαφέροντος σε ένα δεδομένο σύνολο πληθυσμού, χρησιμοποιώντας δεδομένα που μετριούνται σε ένα σετ δειγμάτων. Οι υπολογισμοί εκτελούνται σε επιλεγμένα δείγματα για να συγκεντρωθούν πιο αποφασιστικές πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά ολόκληρου του πληθυσμού, γεγονός που καθιστά εφικτό έναν συστηματικό τρόπο δοκιμής αξιώσεων ή ιδεών για ολόκληρο το σύνολο δεδομένων.

Εδώ είναι ένα απλό παράδειγμα: Ένας διευθυντής σχολείου αναφέρει ότι οι μαθητές στο σχολείο της βαθμολογούν κατά μέσο όρο 7 από τις 10 στις εξετάσεις. Για να δοκιμάσουμε αυτήν την "υπόθεση", καταγράφουμε σημάδια από 30 φοιτητές (δείγμα) από ολόκληρο τον φοιτητικό πληθυσμό του σχολείου (πχ. 300) και υπολογίζουμε τον μέσο όρο του δείγματος. Στη συνέχεια, μπορούμε να συγκρίνουμε τον (υπολογισμένο) μέσο δείγματος με τον (αναφερόμενο) μέσο πληθυσμό και να επιχειρήσουμε να επιβεβαιώσουμε την υπόθεση.

Για να πάρετε ένα άλλο παράδειγμα, η ετήσια απόδοση ενός συγκεκριμένου αμοιβαίου κεφαλαίου είναι 8%. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει αμοιβαίο κεφάλαιο εδώ και 20 χρόνια. Παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα ετήσιων αποδόσεων του αμοιβαίου κεφαλαίου, για παράδειγμα, πέντε ετών (δείγμα) και υπολογίζουμε τον μέσο όρο του. Στη συνέχεια, συγκρίνουμε τον (υπολογιζόμενο) μέσο δείγματος με τον μέσο όρο (που αξιώνεται) για τον έλεγχο της υπόθεσης.

Τα κριτήρια λήψης αποφάσεων πρέπει να βασίζονται σε ορισμένες παραμέτρους των συνόλων δεδομένων.

Διαφορετικές μέθοδοι υπάρχουν για τον έλεγχο των υποθέσεων, αλλά αφορούν τα ίδια τέσσερα βασικά βήματα:

Βήμα 1: Καθορίστε την Υπόθεση

Συνήθως, η αναφερόμενη τιμή (ή τα στατιστικά στοιχεία απαιτήσεων) αναφέρεται ως υπόθεση και θεωρείται αληθής. Για τα παραπάνω παραδείγματα, η υπόθεση θα είναι:

• Παράδειγμα Α: Οι μαθητές στο σχολείο βαθμολογούν κατά μέσο όρο 7 από τις 10 στις εξετάσεις.
• Παράδειγμα Β: Η ετήσια απόδοση του αμοιβαίου κεφαλαίου είναι 8% ετησίως.

Αυτή η αναφερόμενη περιγραφή αποτελεί την " Υπόθεση Null (H ₀ ) " και θεωρείται αληθής - ο τρόπος με τον οποίο ένας κατηγορούμενος σε δίκη κριθεί αθώος μέχρι να αποδειχθεί ένοχος από τα αποδεικτικά στοιχεία που παρουσιάζονται στο δικαστήριο. Ομοίως, η δοκιμή υποθέσεων ξεκινά με τη δήλωση και την υπόθεση μιας «μηδενικής υπόθεσης», και στη συνέχεια η διαδικασία καθορίζει αν η υπόθεση είναι πιθανό να είναι αληθής ή ψευδής.

Το σημαντικό σημείο που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι δοκιμάζουμε τη μηδενική υπόθεση επειδή υπάρχει ένα στοιχείο αμφιβολίας για την εγκυρότητά της. Όποια και αν είναι η πληροφορία που είναι αντίθετη με την αναφερθείσα μηδενική υπόθεση, συλλαμβάνεται στην Εναλλακτική Υπόθεση (H1). Για τα παραπάνω παραδείγματα, η εναλλακτική υπόθεση θα είναι:

• Οι μαθητές βαθμολογούν έναν μέσο όρο που δεν είναι ίσος με 7.
• Η ετήσια απόδοση του αμοιβαίου κεφαλαίου δεν είναι ίση με 8% ετησίως.

Με άλλα λόγια, η εναλλακτική υπόθεση είναι μια άμεση αντίφαση της μηδενικής υπόθεσης.

Όπως σε μια δίκη, η κριτική επιτροπή αναλαμβάνει την αθωότητα του εναγομένου (null hypothesis). Ο εισαγγελέας πρέπει να αποδείξει διαφορετικά (εναλλακτική υπόθεση). Ομοίως, ο ερευνητής πρέπει να αποδείξει ότι η μηδενική υπόθεση είναι είτε αληθινή είτε ψευδής. Εάν ο εισαγγελέας αποτύχει να αποδείξει την εναλλακτική υπόθεση, η κριτική επιτροπή πρέπει να αφήσει τον εναγόμενο να πάει (βασίζοντας την απόφαση στην υπόθεση null). Ομοίως, αν ο ερευνητής δεν αποδείξει μια εναλλακτική υπόθεση (ή απλά δεν κάνει τίποτα), τότε η μηδενική υπόθεση θεωρείται αληθής.

Βήμα 2: Ορίστε τα κριτήρια

Τα κριτήρια λήψης αποφάσεων πρέπει να βασίζονται σε συγκεκριμένες παραμέτρους των συνόλων δεδομένων και εδώ συνδέεται με την κανονική κατανομή.

Σύμφωνα με τα τυποποιημένα στατιστικά στοιχεία για την κατανομή δειγματοληψίας, "Για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος n, η κατανομή δειγματοληψίας του Xρ είναι φυσιολογική αν ο πληθυσμός Χ από τον οποίο αντλείται το δείγμα κατανέμεται κανονικά." Ως εκ τούτου, οι πιθανότητες όλων των άλλων πιθανών δειγμάτων σημαίνουν ότι που θα μπορούσε κανείς να επιλέξει διανέμονται κανονικά.

Για παράδειγμα, καθορίστε αν η μέση ημερήσια απόδοση κάθε μετοχής που είναι εισηγμένη στη χρηματιστηριακή αγορά XYZ γύρω στην Πρωτοχρονιά είναι μεγαλύτερη από 2%.

H ₀ : Υπόθεση μηδέν: μέση = 2%

H ₁ : Εναλλακτική Υπόθεση: σημαίνει> 2% (αυτό θέλουμε να αποδείξουμε)

Πάρτε το δείγμα (για παράδειγμα από 50 αποθέματα από τα συνολικά 500) και υπολογίστε τον μέσο όρο του δείγματος.

Για κανονική κατανομή, το 95% των τιμών βρίσκεται εντός δύο τυπικών αποκλίσεων του μέσου όρου του πληθυσμού. Ως εκ τούτου, αυτή η κανονική κατανομή και η βασική παραδοχή ορίων για το σύνολο δεδομένων δείγματος μας επιτρέπει να καθορίσουμε 5% ως επίπεδο σημαντικότητας. Έχει νόημα, δεδομένου ότι, κάτω από αυτή την υπόθεση, υπάρχει λιγότερη από 5% πιθανότητα (100-95) να πάρει κανείς τιμές που υπερβαίνουν δύο τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο όρο του πληθυσμού. Ανάλογα με τη φύση των συνόλων δεδομένων, άλλα επίπεδα σημαντικότητας μπορούν να ληφθούν στο 1%, 5% ή 10%. Για τους οικονομικούς υπολογισμούς (συμπεριλαμβανομένης της συμπεριφοράς χρηματοδότησης), το 5% είναι το γενικά αποδεκτό όριο. Αν βρούμε υπολογισμούς που υπερβαίνουν τις συνήθεις δύο τυπικές αποκλίσεις, τότε έχουμε μια ισχυρή περίπτωση υπερβολικών τιμών για να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση.

Γραφικά, αντιπροσωπεύεται ως εξής:

Στο παραπάνω παράδειγμα, εάν ο μέσος όρος του δείγματος είναι πολύ μεγαλύτερος από 2% (πχ 3, 5%), τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση. Η εναλλακτική υπόθεση (μέση τιμή> 2%) είναι αποδεκτή, γεγονός που επιβεβαιώνει ότι η μέση ημερήσια απόδοση των αποθεμάτων είναι πράγματι μεγαλύτερη από 2%.

Ωστόσο, εάν ο μέσος όρος του δείγματος δεν είναι πιθανόν να είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 2% (και παραμένει, για παράδειγμα, περίπου 2, 2%), τότε ΔΕΝ μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Η πρόκληση αφορά τον τρόπο με τον οποίο πρέπει να αποφασίζουμε για τέτοιες περιπτώσεις στενής εμβέλειας. Για να καταλήξουμε σε συμπεράσματα από επιλεγμένα δείγματα και αποτελέσματα, πρέπει να προσδιοριστεί ένα επίπεδο σπουδαιότητας, το οποίο καθιστά δυνατή τη συμπλήρωση της μηδενικής υπόθεσης. Η εναλλακτική υπόθεση επιτρέπει να προσδιοριστεί το επίπεδο σπουδαιότητας ή η έννοια της "κρίσιμης αξίας" για να ληφθούν αποφάσεις σχετικά με τέτοιες περιπτώσεις στενής εμβέλειας.

Σύμφωνα με τον τυπικό ορισμό του βιβλίου, "Μια κρίσιμη τιμή είναι μια τιμή αποκοπής που καθορίζει τα όρια πέρα ​​από τα οποία μπορεί να επιτευχθεί λιγότερο από το 5% των μέσων δειγματοληψίας αν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. Τα μέσα δειγματοληψίας που λαμβάνονται πέρα ​​από μια κρίσιμη τιμή θα οδηγήσουν σε μια απόφαση απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης. "Στο παραπάνω παράδειγμα, εάν έχουμε ορίσει την κρίσιμη τιμή ως 2, 1% και ο υπολογισμένος μέσος όρος έφτασε στο 2, 2%, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση Μια κρίσιμη τιμή καθιερώνει σαφή διαχωρισμό σχετικά με την αποδοχή ή την απόρριψη.

Βήμα 3: Υπολογίστε τη Στατιστική

Αυτό το βήμα περιλαμβάνει τον υπολογισμό των απαιτούμενων αριθμών, γνωστών ως στατιστικά στοιχεία δοκιμών (όπως μέσος όρος, βαθμολογία z, τιμή p, κ.λπ.), για το επιλεγμένο δείγμα. (Θα φτάσουμε σε αυτά σε μια μεταγενέστερη ενότητα.)

Βήμα 4: Συμπληρώστε ένα συμπέρασμα

Με την υπολογιζόμενη τιμή (ες), αποφασίστε για την μηδενική υπόθεση. Αν η πιθανότητα λήψης ενός δείγματος είναι μικρότερη από 5%, τότε το συμπέρασμα είναι να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση. Διαφορετικά, αποδεχτείτε και διατηρήστε την μηδενική υπόθεση.

Τύποι σφαλμάτων

Μπορούν να υπάρξουν τέσσερα πιθανά αποτελέσματα στη λήψη αποφάσεων βάσει δειγμάτων, όσον αφορά τη σωστή εφαρμογή σε ολόκληρο τον πληθυσμό:

Οι περιπτώσεις "ορθής" είναι εκείνες στις οποίες οι αποφάσεις που λαμβάνονται για τα δείγματα ισχύουν πραγματικά για ολόκληρο τον πληθυσμό. Οι περιπτώσεις λαθών προκύπτουν όταν κάποιος αποφασίσει να διατηρήσει (ή να απορρίψει) την μηδενική υπόθεση με βάση τους υπολογισμούς δείγματος, αλλά αυτή η απόφαση δεν ισχύει πραγματικά για ολόκληρο τον πληθυσμό. Αυτές οι περιπτώσεις αποτελούν σφάλματα Τύπου 1 (άλφα) και Τύπου 2 (βήτα), όπως υποδεικνύεται στον παραπάνω πίνακα.

Η επιλογή της σωστής κρίσιμης τιμής επιτρέπει την εξάλειψη των σφαλμάτων άλφα τύπου 1 ή τον περιορισμό τους σε ένα αποδεκτό εύρος.

Το Alpha υποδηλώνει το σφάλμα στο επίπεδο σπουδαιότητας και καθορίζεται από τον ερευνητή. Για να διατηρηθεί η τυπική σημασία ή το επίπεδο εμπιστοσύνης 5% για τους υπολογισμούς πιθανοτήτων, αυτό διατηρείται στο 5%.

Σύμφωνα με τα ισχύοντα κριτήρια και ορισμούς λήψης αποφάσεων:

• "Αυτό το κριτήριο (alpha) ορίζεται συνήθως στο 0, 05 (a = 0, 05), και συγκρίνουμε το επίπεδο alpha με την τιμή p. Όταν η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου Ι είναι μικρότερη από 5% (p <0, 05), αποφασίζουμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. διαφορετικά, διατηρούμε την μηδενική υπόθεση. "
• Ο τεχνικός όρος που χρησιμοποιείται για αυτήν την πιθανότητα είναι το p-value . Ορίζεται ως "η πιθανότητα απόκτησης αποτελέσματος δείγματος, δεδομένου ότι η τιμή που αναφέρεται στην μηδενική υπόθεση είναι αληθής. Η τιμή p για την απόκτηση ενός αποτελέσματος δείγματος συγκρίνεται με το επίπεδο σπουδαιότητας. "
• Ένα σφάλμα τύπου ΙΙ ή βήτα βήματος ορίζεται ως "η πιθανότητα να μη διατηρηθεί σωστά η μηδενική υπόθεση, όταν στην πραγματικότητα δεν ισχύει για ολόκληρο τον πληθυσμό".

Μερικά ακόμη παραδείγματα θα δείξουν αυτό και άλλους υπολογισμούς.

Παράδειγμα 1

Υπάρχει ένα μηνιαίο επενδυτικό πρόγραμμα εισοδήματος που υπόσχεται μεταβλητές μηνιαίες αποδόσεις. Ένας επενδυτής θα επενδύσει σε αυτό μόνο εάν είναι εξασφαλισμένος με μέσο εισόδημα κατά μέσο όρο $ 180. Έχει δείγμα επιστροφών 300 μηνών που έχει μέσο όρο $ 190 και τυπική απόκλιση ύψους $ 75. Πρέπει να επενδύσει σε αυτό το πρόγραμμα ">

Ας ρυθμίσουμε το πρόβλημα. Ο επενδυτής θα επενδύσει στο πρόγραμμα εάν είναι σίγουρος για την επιθυμητή απόδοση $ 180 του μέσου όρου.

H ₀ : Μηδενική Υπόθεση: μέση = 180

H ₁ : Εναλλακτική Υπόθεση: μέσος όρος> 180

Μέθοδος 1: Προσέγγιση κρίσιμης αξίας

Προσδιορίστε μια κρίσιμη τιμή X _L για το μέσο δείγματος, το οποίο είναι αρκετά μεγάλο ώστε να απορρίψει την μηδενική υπόθεση - δηλαδή να απορρίψει την μηδενική υπόθεση εάν το δείγμα σημαίνει> = = κρίσιμη τιμή X _L

P (αναγνωρίστε ένα σφάλμα άλφα Τύπου Ι) = P (απορρίψτε το H ₀ δεδομένου ότι το H ₀ είναι αληθές),

Αυτό θα επιτευχθεί όταν ο μέσος δείκτης υπερβαίνει τα κρίσιμα όρια.

= P (δεδομένου ότι το H ₀ είναι αληθές) = alpha

Γραφικά, φαίνεται ως εξής:

Λαμβάνοντας το alpha = 0, 05 (δηλ. Το επίπεδο σημαντικότητας 5%), Z _{0, 05} = 1, 645 (από τον πίνακα Z ή τον κανονικό πίνακα διανομής)

=> Χ _L = 180 + 1.645 * (75 / sqrt (300)) = 187.12

Εφόσον ο μέσος όρος του δείγματος (190) είναι μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή (187.12), η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και το συμπέρασμα είναι ότι η μέση μηνιαία απόδοση είναι πράγματι μεγαλύτερη από $ 180, οπότε ο επενδυτής μπορεί να εξετάσει το ενδεχόμενο να επενδύσει σε αυτό το σύστημα.

Μέθοδος 2: Χρήση τυποποιημένων στατιστικών δοκιμών

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τυποποιημένη τιμή z.

Στατιστική δοκιμής, Z = (μέσος δείκτης - μέσος πληθυσμός) / (std-dev / sqrt (αριθμός δειγμάτων).

Στη συνέχεια, η περιοχή απόρριψης γίνεται η εξής:

Ζ = (190-180) / (75 / sqrt (300)) = 2.309

Η περιοχή απόρριψής μας σε επίπεδο σημαντικότητας 5% είναι Z> Z _{0, 05} = 1, 645.

Δεδομένου ότι το Z = 2.309 είναι μεγαλύτερο από 1.645, η μηδενική υπόθεση μπορεί να απορριφθεί με ένα παρόμοιο συμπέρασμα που αναφέρθηκε παραπάνω.

Μέθοδος 3: Υπολογισμός τιμής P

Στόχος μας είναι να αναγνωρίσουμε το P (μέσος όρος δείγματος> = 190, όταν μέσος όρος = 180).

= Ρ (Ζ> = (190-180) / (75 / sqrt (300))

= Ρ (Ζ> = 2.309) = 0.0084 = 0.84%

Ο παρακάτω πίνακας για τον υπολογισμό των υπολογισμών τιμής p καταλήγει στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν επιβεβαιωμένες ενδείξεις ότι οι μέσες μηνιαίες αποδόσεις είναι υψηλότερες από 180:

Παράδειγμα 2

Ένας νέος χρηματιστής (XYZ) ισχυρίζεται ότι τα χρηματιστηριακά του τέλη είναι χαμηλότερα από αυτά του τρέχοντος χρηματιστηριακού σας πράκτορα (ABC). Δεδομένα διαθέσιμα από μια ανεξάρτητη ερευνητική εταιρεία δείχνουν ότι η μέση και std-dev όλων των πελατών μεσιτών ABC είναι $ 18 και $ 6, αντίστοιχα.

Λαμβάνεται δείγμα 100 πελατών της ABC και οι προμήθειες μεσιτείας υπολογίζονται με τις νέες τιμές του μεσίτη XYZ. Αν ο μέσος όρος του δείγματος είναι 18, 75 δολάρια και ο std-dev είναι ο ίδιος ($ 6), μπορεί κανείς να κάνει συμπεράσματα σχετικά με τη διαφορά του μέσου όρου χρηματιστηριακών συναλλαγών μεταξύ του ABC και του μεσίτη XYZ ">

H ₀ : Μηδενική Υπόθεση: μέση = 18

H ₁ : Εναλλακτική Υπόθεση: σημαίνει 18 (Αυτό θέλουμε να αποδείξουμε.)

Περιοχή απόρριψης: Z <= - Z _2.5 και Z> = Z _2.5 (υποθέτοντας 5% επίπεδο σημαντικότητας, χωρισμένο 2, 5 κάθε μία από τις δύο πλευρές).

Z = (μέσος δείκτης - μέσος όρος) / (std-dev / sqrt (αριθμός δειγμάτων))

= (18, 75-18) / (6 / (sqrt (100)) = 1, 25

Αυτή η υπολογιζόμενη τιμή Z πέφτει μεταξύ των δύο ορίων που ορίζονται από:

- Ζ _2.5 = -1.96 και Ζ _2.5 = 1.96.

Αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συναχθεί ότι υπάρχει κάποια διαφορά μεταξύ των επιτοκίων του υφιστάμενου μεσίτη σας και του νέου μεσίτη.

Εναλλακτικά, η τιμή ρ = Ρ (Ζ1.25)

= 2 * 0.1056 = 0.2112 = 21.12% η οποία είναι μεγαλύτερη από 0.05 ή 5%, οδηγώντας στο ίδιο συμπέρασμα.

Γραφικά, αντιπροσωπεύεται από τα ακόλουθα:

Σημεία κριτικής για τη μέθοδο υποθετικής δοκιμής:

• Μια στατιστική μέθοδος που βασίζεται σε παραδοχές
• Σφάλμα-επιρρεπείς όπως λεπτομερείς όσον αφορά τα σφάλματα άλφα και βήτα
• Η ερμηνεία της τιμής p μπορεί να είναι διφορούμενη, οδηγώντας σε συγκεχυμένα αποτελέσματα

Η κατώτατη γραμμή

Η δοκιμή υποθέσεων επιτρέπει σε ένα μαθηματικό μοντέλο να επικυρώνει μια αξίωση ή μια ιδέα με ένα συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Ωστόσο, όπως και η πλειονότητα των στατιστικών εργαλείων και μοντέλων, δεσμεύεται από μερικούς περιορισμούς. Η χρήση αυτού του μοντέλου για τη λήψη οικονομικών αποφάσεων θα πρέπει να εξετασθεί με κριτικό μάτι, έχοντας κατά νου όλες τις εξάρσεις. Εναλλακτικές μέθοδοι όπως η Bayesian Inference αξίζει επίσης να εξεταστούν για παρόμοια ανάλυση.