Πώς να χρησιμοποιήσετε προσομοίωση Monte Carlo με GBM

Ένας από τους πιο συνηθισμένους τρόπους εκτίμησης του κινδύνου είναι η χρήση προσομοίωσης Monte Carlo (MCS). Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε την αξία σε κίνδυνο (VaR) ενός χαρτοφυλακίου, μπορούμε να εκτελέσουμε μια προσομοίωση του Monte Carlo που επιχειρεί να προβλέψει τη χειρότερη πιθανή απώλεια για ένα χαρτοφυλάκιο, δεδομένου ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για έναν καθορισμένο χρονικό ορίζοντα (πρέπει πάντα να προσδιορίσουμε δύο προϋποθέσεις για το VaR: εμπιστοσύνη και ορίζοντας).

Σε αυτό το άρθρο, θα αναθεωρήσουμε ένα βασικό MCS που εφαρμόζεται σε τιμή μετοχών χρησιμοποιώντας ένα από τα πιο κοινά μοντέλα χρηματοδότησης: γεωμετρική Brownian motion (GBM). Επομένως, ενώ η προσομοίωση του Monte Carlo μπορεί να αναφέρεται σε ένα σύμπαν διαφορετικών προσεγγίσεων προσομοίωσης, θα ξεκινήσουμε εδώ με τις πιο βασικές.

Από πού να αρχίσω

Μια προσομοίωση του Monte Carlo είναι μια προσπάθεια να προβλέψουμε το μέλλον πολλές φορές. Στο τέλος της προσομοίωσης, χιλιάδες ή εκατομμύρια "τυχαίων δοκιμών" παράγουν μια κατανομή των αποτελεσμάτων που μπορούν να αναλυθούν. Τα βασικά βήματα είναι τα εξής:

1. Καθορίστε ένα μοντέλο (π.χ. GBM)

Για αυτό το άρθρο, θα χρησιμοποιήσουμε τη γεωμετρική κίνηση Brownian Motion (GBM), η οποία είναι τεχνικά μια διαδικασία Markov. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή των μετοχών ακολουθεί μια τυχαία πορεία και είναι σύμφωνη με (τουλάχιστον) την αδύναμη μορφή της αποτελεσματικής αγοράς (EMH) - οι πληροφορίες για τις προηγούμενες τιμές έχουν ήδη ενσωματωθεί και η επόμενη κίνηση των τιμών είναι "υπό όρους ανεξάρτητη" προηγούμενες μεταβολές των τιμών.

Ο τύπος για GBM βρίσκεται παρακάτω:

Που:

• S = Η τιμή της μετοχής
• Δ S = Η μεταβολή της τιμής των μετοχών
• μ = Αναμενόμενη απόδοση
• σ = Η τυπική απόκλιση των αποδόσεων
• ε = Η τυχαία μεταβλητή
• Δ t = Η χρονική περίοδος που έχει παρέλθει

Εάν αναδιοργανώσουμε τη φόρμουλα για να λύσουμε μόνο τη μεταβολή της τιμής των μετοχών, βλέπουμε ότι η GBM λέει ότι η μεταβολή της τιμής της μετοχής είναι η τιμή μετοχής "S" πολλαπλασιασμένη με τους δύο όρους που βρίσκονται μέσα στην παρακάτω παρένθεση:

Ο πρώτος όρος είναι "παρασυρόμενος" και ο δεύτερος όρος είναι "σοκ". Για κάθε χρονική περίοδο, το μοντέλο μας υποθέτει ότι η τιμή θα "μετατοπιστεί" από την αναμενόμενη απόδοση. Αλλά η κίνηση θα συγκλονιστεί (προστεθεί ή αφαιρεθεί) από ένα τυχαίο σοκ. Το τυχαίο σοκ θα είναι η τυπική απόκλιση "s" πολλαπλασιασμένη με τυχαίο αριθμό "e". Αυτός είναι απλά ένας τρόπος κλιμάκωσης της τυπικής απόκλισης.

Αυτή είναι η ουσία της GBM, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 1. Η τιμή της μετοχής ακολουθεί μια σειρά βημάτων, όπου κάθε βήμα είναι μια μετατόπιση συν ή πλην ενός τυχαίου σοκ (η ίδια συνάρτηση της τυπικής απόκλισης του αποθέματος):

Φιγούρα 1

2. Δημιουργία τυχαίων δοκιμών

Οπλισμένοι με προδιαγραφές μοντέλου, προχωρούμε στη συνέχεια να διεξάγουμε τυχαίες δοκιμές. Για να το δείξουμε, χρησιμοποιήσαμε το Microsoft Excel για να τρέξουμε 40 δοκιμές. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι ένα μη ρεαλιστικό δείγμα. οι περισσότερες προσομοιώσεις ή "sims" τρέχουν τουλάχιστον αρκετές χιλιάδες δοκιμές.

Στην περίπτωση αυτή, ας υποθέσουμε ότι το απόθεμα ξεκινά την ημέρα μηδέν με τιμή $ 10. Εδώ υπάρχει ένα γράφημα του αποτελέσματος όπου κάθε βήμα (ή διάστημα) είναι μια ημέρα και η σειρά τρέχει για δέκα ημέρες (συνοπτικά: σαράντα δοκιμές με καθημερινά βήματα για δέκα ημέρες):

Εικόνα 2: Γεωμετρική κίνηση Brownian

Το αποτέλεσμα είναι σαράντα προσομοιωμένες τιμές μετοχών στο τέλος των 10 ημερών. Καμία δεν έχει συμβεί να πέσει κάτω από $ 9, και ένα είναι πάνω από $ 11.

3. Επεξεργαστείτε την έξοδο

Η προσομοίωση παρήγαγε μια κατανομή υποθετικών μελλοντικών αποτελεσμάτων. Θα μπορούσαμε να κάνουμε πολλά πράγματα με την έξοδο.

Εάν, για παράδειγμα, θέλουμε να υπολογίσουμε το VaR με εμπιστοσύνη 95%, τότε θα πρέπει να εντοπίσουμε μόνο το τρίτο όγδοο αποτέλεσμα (το τρίτο χειρότερο αποτέλεσμα). Αυτό συμβαίνει επειδή το 2/40 ισούται με 5%, επομένως τα δύο χειρότερα αποτελέσματα είναι στο χαμηλότερο 5%.

Αν στοιβάζουμε τα απεικονιζόμενα αποτελέσματα σε κάδους (κάθε κάδος είναι το ένα τρίτο του $ 1, έτσι ώστε οι τρεις κάδοι καλύπτουν το διάστημα από $ 9 έως $ 10), θα έχουμε το ακόλουθο ιστόγραμμα:

Σχήμα 3

Θυμηθείτε ότι το μοντέλο GBM μας υποθέτει κανονικότητα. οι αποδόσεις των τιμών κανονικά κατανέμονται με την αναμενόμενη απόδοση (μέση τιμή) "m" και την τυπική απόκλιση "s". Είναι ενδιαφέρον ότι το ιστόγραμμά μας δεν φαίνεται φυσιολογικό. Στην πραγματικότητα, με περισσότερες δοκιμές, δεν θα τείνει προς την κανονικότητα. Αντ 'αυτού, θα τείνει προς μια φυσιολογική κατανομή: μια απότομη πτώση προς τα αριστερά της μέσης και μια εξαιρετικά λοξή "μακριά ουρά" στα δεξιά του μέσου.

Αυτό οδηγεί συχνά σε μια δυναμική σύγχυση για τους φοιτητές για πρώτη φορά:

• Οι αποδόσεις των τιμών κατανέμονται κανονικά.
• Τα επίπεδα τιμών καταγράφονται κανονικά.

Σκεφτείτε με αυτό τον τρόπο: Ένα απόθεμα μπορεί να επιστρέψει πάνω ή κάτω 5% ή 10%, αλλά μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, η τιμή των μετοχών δεν μπορεί να είναι αρνητική. Επιπλέον, οι αυξήσεις των τιμών στην ανοδική πορεία έχουν συμβιβαστική επίδραση, ενώ οι μειώσεις των τιμών μειώνουν τη βάση: χάνουν το 10% και μένουν με λιγότερες απώλειες την επόμενη φορά.

Ακολουθεί ένα διάγραμμα της φυσιολογικής κατανομής που υπερτίθεται στις εικονογραφημένες παραδοχές μας (π.χ. αρχική τιμή $ 10):

Σχήμα 4

Η κατώτατη γραμμή

Μια προσομοίωση Monte Carlo εφαρμόζει ένα επιλεγμένο μοντέλο (που καθορίζει τη συμπεριφορά ενός οργάνου) σε ένα μεγάλο σύνολο τυχαίων δοκιμών σε μια προσπάθεια να παραχθεί μια πιθανή σειρά πιθανών μελλοντικών αποτελεσμάτων. Όσον αφορά την προσομοίωση των τιμών των μετοχών, το πιο κοινό μοντέλο είναι η γεωμετρική κίνηση Brownian (GBM). Το GBM υποθέτει ότι η συνεχής μετακίνηση συνοδεύεται από τυχαίες διαταραχές. Ενώ η περίοδος επιστροφής στο GBM διανέμεται κανονικά, τα συνακόλουθα επίπεδα τιμών πολλαπλών περιόδων (για παράδειγμα, δέκα ημερών) κατανέμονται φυσιολογικά.