Lognormal και κανονική διανομή

Τα μαθηματικά πίσω από τη χρηματοδότηση μπορεί να είναι λίγο συγκεχυμένα και κουραστικά. Ευτυχώς, τα περισσότερα προγράμματα υπολογιστών κάνουν περίπλοκους υπολογισμούς. Ωστόσο, η κατανόηση των διαφόρων στατιστικών όρων και μεθόδων, οι έννοιές τους και η βέλτιστη ανάλυση των επενδύσεων είναι καθοριστικής σημασίας για την επιλογή της κατάλληλης ασφάλειας και την επίτευξη του επιθυμητού αντικτύπου σε ένα χαρτοφυλάκιο.

Μία σημαντική απόφαση είναι η επιλογή μεταξύ φυσιολογικών και φυσιολογικών διανομών, οι οποίες συχνά αναφέρονται στην ερευνητική βιβλιογραφία. Πριν από την επιλογή, πρέπει να ξέρετε:

• Τί είναι
• Τι διαφορές υπάρχουν μεταξύ τους
• Πώς επηρεάζουν τις επενδυτικές αποφάσεις

Κανονική έναντι Lognormal

Τόσο οι κανονικές όσο και οι φυσιολογικές κατανομές χρησιμοποιούνται στα στατιστικά μαθηματικά για να περιγράψουν την πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος. Η ανατροπή ενός νομίσματος είναι ένα εύκολα κατανοητό παράδειγμα πιθανότητας. Αν αναστρέψετε 1000 νομίσματα, ποια είναι η κατανομή των αποτελεσμάτων; Δηλαδή, πόσες φορές θα προσγειωθεί στα κεφάλια ή τις ουρές; Υπάρχει πιθανότητα 50% να προσγειωθεί είτε σε κεφάλια είτε σε ουρές. Αυτό το βασικό παράδειγμα περιγράφει την πιθανότητα και τη διανομή των αποτελεσμάτων.

Υπάρχουν πολλοί τύποι διανομών, εκ των οποίων η κανονική ή η καμπύλη διανομής καμπάνας. (Βλέπε σχήμα 1)

Σε μια κανονική κατανομή, το 68% (34% + 34%) των αποτελεσμάτων εμπίπτει σε μία τυπική απόκλιση και το 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) εμπίπτει σε δύο τυπικές αποκλίσεις. Στο κέντρο (το σημείο 0 στην εικόνα παραπάνω) ο διάμεσος (η μεσαία τιμή στο σύνολο), ο τρόπος (η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά) και ο μέσος (αριθμητικός μέσος όρος) είναι όλοι ίδιοι.

Η φυσιολογική κατανομή διαφέρει από την κανονική κατανομή με διάφορους τρόπους. Μία σημαντική διαφορά είναι στο σχήμα της: η κανονική κατανομή είναι συμμετρική, ενώ η φυσιολογική κατανομή δεν είναι. Επειδή οι τιμές σε μια λογαριθμική κατανομή είναι θετικές, δημιουργούν μια καμπύλη ορθογώνιας καμπύλης. (Βλέπε σχήμα 2)

Αυτή η λανθάνουσα σημασία είναι σημαντική για τον προσδιορισμό της κατανομής που είναι κατάλληλη για τη λήψη αποφάσεων σχετικά με επενδύσεις. Μια περαιτέρω διάκριση είναι ότι οι τιμές που χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή φυσιολογικής κατανομής κανονικά κατανέμονται.

Ας ξεκαθαρίσουμε με ένα παράδειγμα. Ένας επενδυτής θέλει να γνωρίζει μια αναμενόμενη μελλοντική τιμή μετοχής. Δεδομένου ότι τα αποθέματα αυξάνονται με αυξημένο ρυθμό, πρέπει να χρησιμοποιήσει έναν παράγοντα ανάπτυξης. Για να υπολογίσει τις πιθανές αναμενόμενες τιμές, θα πάρει την τρέχουσα τιμή της μετοχής και θα την πολλαπλασιάσει με διάφορα ποσοστά απόδοσης (τα οποία προέρχονται μαθηματικά από εκθετικούς παράγοντες βάσει σύνθεσης), τα οποία θεωρείται ότι κατανέμονται κανονικά. Όταν ο επενδυτής συνδυάζει συνεχώς τις αποδόσεις, δημιουργεί μια φυσιολογική κατανομή. Αυτή η κατανομή είναι πάντοτε θετική, ακόμη και αν ορισμένα από τα ποσοστά απόδοσης είναι αρνητικά, τα οποία θα συμβούν το 50% του χρόνου σε μια κανονική κατανομή. Η μελλοντική τιμή των μετοχών θα είναι πάντα θετική επειδή οι τιμές των μετοχών δεν μπορούν να πέσουν κάτω από τα $ 0.

Πότε πρέπει να χρησιμοποιείτε την κανονική έναντι της λογαριθμικής διανομής

Το προηγούμενο παράδειγμα μας βοήθησε να καταλήξουμε σε αυτό που πραγματικά έχει σημασία για τους επενδυτές: πότε να χρησιμοποιήσουμε κάθε μέθοδο. Το Lognormal είναι εξαιρετικά χρήσιμο όταν αναλύει τις τιμές των μετοχών. Όσο ο συντελεστής ανάπτυξης που χρησιμοποιείται θεωρείται κανονικά κατανεμημένος (όπως υποθέτουμε με τον ρυθμό απόδοσης), τότε η λογαριθμική κατανομή έχει νόημα. Η κανονική διανομή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διαμορφώσει τις τιμές των μετοχών επειδή έχει αρνητική πλευρά και οι τιμές των μετοχών δεν μπορούν να πέσουν κάτω από το μηδέν.

Μια άλλη παρόμοια χρήση της φυσιολογικής κατανομής είναι η τιμολόγηση των επιλογών. Το μοντέλο Black-Scholes -που χρησιμοποιείται για τις επιλογές τιμών- χρησιμοποιεί τη λογαριθμική κατανομή ως βάση για τον καθορισμό των τιμών των δικαιωμάτων προαίρεσης.

Αντίστροφα, η κανονική διανομή λειτουργεί καλύτερα κατά τον υπολογισμό των συνολικών αποδόσεων χαρτοφυλακίου. Η κανονική κατανομή χρησιμοποιείται επειδή η μέση σταθμισμένη απόδοση (το προϊόν του βάρους ενός χαρτοφυλακίου σε ένα χαρτοφυλάκιο και το ποσοστό απόδοσης του) είναι ακριβέστερη στην περιγραφή της πραγματικής απόδοσης του χαρτοφυλακίου (θετική ή αρνητική), ιδιαίτερα αν τα βάρη ποικίλλουν κατά ένα μεγάλο βαθμό. Τα παρακάτω είναι ένα τυπικό παράδειγμα:

Βάρη εκμετάλλευσης χαρτοφυλακίου Επιστρέφει σταθμισμένη απόδοση

Απόθεμα A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Απόθεμα Β 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Συνολική σταθμισμένη μέση απόδοση = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Παρόλο που η φυσιολογική απόδοση για τη συνολική απόδοση του χαρτοφυλακίου μπορεί να είναι ταχύτερη για τον υπολογισμό σε μια μεγαλύτερη χρονική περίοδο, δεν καταγράφει τα μεμονωμένα βάρη των αποθεμάτων, τα οποία μπορεί να διαστρεβλώνουν τρομερά την απόδοση. Επίσης, οι αποδόσεις του χαρτοφυλακίου μπορούν να είναι θετικές ή αρνητικές και μια φυσιολογική κατανομή δεν θα αποτυπώσει τις αρνητικές πτυχές.

Η κατώτατη γραμμή

Αν και οι αποχρώσεις που διαφοροποιούν κανονικές και λογαριθμικές διανομές μπορεί να μας ξεφύγουν τον περισσότερο καιρό, η γνώση της εμφάνισης και των χαρακτηριστικών κάθε διανομής θα δώσει μια εικόνα για το πώς θα μοντελοποιηθούν οι αποδόσεις των χαρτοφυλακίων και οι μελλοντικές τιμές των μετοχών.