Ορισμός γραμμικής σχέσης

Τι είναι μια Γραμμική Σχέση;

Μια γραμμική σχέση (ή γραμμική συσχέτιση) είναι ένας στατιστικός όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια ευθεία σχέση μεταξύ μιας μεταβλητής και μιας σταθεράς. Οι γραμμικές σχέσεις μπορούν να εκφράζονται είτε σε γραφική μορφή όπου η μεταβλητή και η σταθερά συνδέονται μέσω ευθείας γραμμής ή σε μαθηματική μορφή όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή κλίσης, προστιθέμενη από μια σταθερά που καθορίζει την εξαρτώμενη μεταβλητή.

Μια γραμμική σχέση μπορεί να συγκριθεί με μια πολυωνυμική ή μη γραμμική (καμπύλη) σχέση.

Βασικές τακτικές

• Μια γραμμική σχέση (ή γραμμική συσχέτιση) είναι ένας στατιστικός όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια ευθεία σχέση μεταξύ μιας μεταβλητής και μιας σταθεράς.
• Οι γραμμικές σχέσεις μπορούν να εκφράζονται είτε σε γραφική μορφή είτε ως μαθηματική εξίσωση της φόρμας y = mx + b.
• Οι γραμμικές σχέσεις είναι αρκετά συνηθισμένες στην καθημερινή ζωή.

Η Γραμμική Εξίσωση είναι:

Μαθηματικά, μια γραμμική σχέση είναι αυτή που ικανοποιεί την εξίσωση:

y = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept \ begin {ευθυγραμμισμένο} & y = mx + b \\ & \ textbf {where:} \\ & -intercept} \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} y = mx + bwhere: m = κλίση = γ

Σε αυτή την εξίσωση, "x" και "y" είναι δύο μεταβλητές που σχετίζονται με τις παραμέτρους "m" και "b". Η γραφική παράσταση y = mx + b υποδηλώνει στο επίπεδο xy ως γραμμή με κλίση "m" και y-intercept "b." Το σημείο "b" είναι απλά η τιμή του y όταν x = 0. Η κλίση "m" υπολογίζεται από οποιαδήποτε δύο μεμονωμένα σημεία (x ₁, y ₁ ) και (x ₂, y ₂ ) ως:

m2 = y1) (x2-x1)} m = (χ2-χ1) (χ2-y1)

1:02

Γραμμική σχέση

Τι σημαίνει να σας πω μια γραμμική σχέση;

Υπάρχουν τρεις ομάδες απαραίτητων κριτηρίων που πρέπει να πληρεί μια εξίσωση για να χαρακτηριστεί ως γραμμική: μια εξίσωση που εκφράζει μια γραμμική σχέση δεν μπορεί να αποτελείται από περισσότερες από δύο μεταβλητές, όλες οι μεταβλητές σε μια εξίσωση πρέπει να είναι στην πρώτη εξουσία, και η εξίσωση πρέπει να γράφει ως ευθεία γραμμή.

Μια γραμμική συνάρτηση στα μαθηματικά είναι αυτή που ικανοποιεί τις ιδιότητες της προσθετικότητας και της ομοιογένειας. Οι γραμμικές λειτουργίες επίσης τηρούν την αρχή της υπέρθεσης, η οποία δηλώνει ότι η καθαρή έξοδος δύο ή περισσότερων εισόδων ισούται με το άθροισμα των εξόδων των μεμονωμένων εισόδων. Μια ευρέως χρησιμοποιούμενη γραμμική σχέση είναι μια συσχέτιση, η οποία περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μια μεταβλητή αλλάζει γραμμικά με τις αλλαγές σε μια άλλη μεταβλητή.

Στην οικονομετρία, η γραμμική παλινδρόμηση είναι μια συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος παραγωγής γραμμικών σχέσεων για την εξήγηση διαφόρων φαινομένων. Ωστόσο, όλες οι σχέσεις δεν είναι γραμμικές. Ορισμένα δεδομένα περιγράφουν καμπύλες σχέσεις (όπως πολυωνυμικές σχέσεις) ενώ άλλα δεδομένα δεν μπορούν να παραμετροποιηθούν.

Γραμμικές λειτουργίες

Μαθηματικά παρόμοια με μια γραμμική σχέση είναι η έννοια της γραμμικής συνάρτησης. Σε μια μεταβλητή, μια γραμμική συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως εξής:

f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept \ begin {aligned} & f (x) = mx + b \ & b = \ text {y-intercept} \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} f (x) = mx + bwhere: m = κλίση =

Αυτό είναι ίδιο με τον δεδομένο τύπο για μια γραμμική σχέση εκτός από το ότι το σύμβολο f (x) χρησιμοποιείται στη θέση του y. Αυτή η υποκατάσταση γίνεται για να τονίσει το νόημα ότι το x χαρτογραφείται στο f (x), ενώ η χρήση του y δείχνει απλά ότι τα x και y είναι δύο ποσότητες, που σχετίζονται με Α και Β.

Στη μελέτη της γραμμικής άλγεβρας, οι ιδιότητες των γραμμικών λειτουργιών μελετώνται εκτενώς και γίνονται αυστηρές. Με δεδομένο ένα κλιμακωτό C και δύο φορείς A και B από R ^N, ο πιο γενικός ορισμός μιας γραμμικής συνάρτησης δηλώνει ότι: c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B) c \ Οι χρόνοι f (A + B) = γ \ φορές f (A) + c \ φορές f (B) c × f (A + B) = c × f (A)

Παραδείγματα γραμμικών σχέσεων

Παράδειγμα 1

Οι γραμμικές σχέσεις είναι αρκετά συνηθισμένες στην καθημερινή ζωή. Ας πάρουμε την έννοια της ταχύτητας για παράδειγμα. Ο τύπος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε την ταχύτητα είναι ο εξής: ο ρυθμός ταχύτητας είναι η απόσταση που διανύθηκε με το χρόνο. Εάν κάποιος σε ένα άσπρο 2007 Chrysler Town και Country minivan ταξιδεύει μεταξύ Sacramento και Marysville στην Καλιφόρνια, μια έκταση 41, 3 μιλίων στον αυτοκινητόδρομο 99, και το πλήρες ταξίδι τελειώνει για 40 λεπτά, θα έχει ταξιδέψει λίγο κάτω από 60 mph.

Ενώ υπάρχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές σε αυτήν την εξίσωση, είναι ακόμα μια γραμμική εξίσωση, επειδή μία από τις μεταβλητές θα είναι πάντα σταθερή (απόσταση).

Παράδειγμα 2

Μια γραμμική σχέση μπορεί επίσης να βρεθεί στην απόσταση εξίσωσης = ρυθμός x χρόνος. Επειδή η απόσταση είναι ένας θετικός αριθμός (στις περισσότερες περιπτώσεις), αυτή η γραμμική σχέση θα εκφράζεται στο άνω δεξιό τεταρτημόριο ενός γραφήματος με έναν άξονα Χ και Υ.

Αν ένα ποδήλατο που φτιάχτηκε για δύο ταξίδευε με ρυθμό 30 μίλια ανά ώρα για 20 ώρες, ο αναβάτης θα καταλήξει 600 μίλια. Αντιπροσωπευόμενη γραφικά με την απόσταση στον άξονα Υ και τον χρόνο στον άξονα Χ, μια γραμμή που παρακολουθεί την απόσταση σε αυτές τις 20 ώρες θα οδηγούσε κατευθείαν από τη σύγκλιση του άξονα Χ και Υ.

Παράδειγμα 3

Για να μετατρέψετε τον Κελσίου σε Φαρενάιτ ή Φαρενάιτ σε Κελσίου, θα χρησιμοποιούσατε τις παρακάτω εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις εκφράζουν μια γραμμική σχέση σε ένα γράφημα:

° C = 59 (° F-32) \ βαθμός C = \ frac {5} {9} (\ βαθμός F - 32) ° C = 95 (° F-32)

(° C + 32) ° F = 59 (° C + 32) ° βαθμός F = \ frac {9} {5}

Παράδειγμα 4

Υποθέστε ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το μέγεθος ενός σπιτιού (όπως μετράται με τετραγωνικά μεγέθη) που καθορίζει την αγοραία τιμή ενός σπιτιού (η εξαρτημένη μεταβλητή) όταν πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή κλίσης 207, 65 και στη συνέχεια προστίθεται στον σταθερό όρο $ 10, 500 . Εάν το τετραγωνικό μήκος ενός σπιτιού είναι 1.250 τότε η αγοραία αξία του σπιτιού είναι (1.250 x 207.65) + $ 10.500 = 270.062, 50 δολάρια. Γραφικά και μαθηματικά, φαίνεται ως εξής:

Σε αυτό το παράδειγμα, καθώς το μέγεθος του σπιτιού αυξάνεται, η αγοραία αξία του σπιτιού αυξάνεται γραμμικά.

Ορισμένες γραμμικές σχέσεις μεταξύ δύο αντικειμένων μπορούν να ονομαστούν "σταθερά αναλογικότητας". Αυτή η σχέση εμφανίζεται ως

Y = k × X όπου: k = σταθερή, X = αναλογικές ποσότητες \ begin {ευθυγραμμισμένες} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {where:} \ \ text {αναλογικές ποσότητες} \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} Y = k × Xwhere: k = constantY, X = αναλογικές ποσότητες

Κατά την ανάλυση των δεδομένων συμπεριφοράς, σπάνια υπάρχει μια τέλεια γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Ωστόσο, γραμμές τάσεων μπορούν να βρεθούν σε δεδομένα που σχηματίζουν μια τραχεία έκδοση μιας γραμμικής σχέσης. Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να εξετάσετε την πώληση του παγωτού και τον αριθμό επισκέψεων στο νοσοκομείο ως τις δύο μεταβλητές που παίζετε σε ένα γράφημα και να βρείτε μια γραμμική σχέση μεταξύ των δύο.

Σύγκριση επενδυτικών λογαριασμών Όνομα παροχέα Περιγραφή Αποκάλυψη διαφημιζόμενου × Οι προσφορές που εμφανίζονται σε αυτόν τον πίνακα προέρχονται από συνεργασίες από τις οποίες η Investopedia λαμβάνει αποζημίωση.

Σχετικοί όροι

Μέσα στο οριακό ποσοστό υποκατάστασης Το οριακό ποσοστό υποκατάστασης ορίζεται ως το ποσό ενός αγαθού που ο καταναλωτής είναι πρόθυμος να παραιτηθεί για ένα άλλο αγαθό, εφόσον είναι εξίσου ικανοποιητικό. περισσότερα Κατανόηση του οριακού ποσοστού τεχνικής υποκατάστασης Ο οριακός ρυθμός τεχνικής υποκατάστασης είναι ο ρυθμός με τον οποίο ένας παράγοντας πρέπει να μειωθεί και ένας άλλος πρέπει να αυξηθεί για να διατηρηθεί το ίδιο επίπεδο παραγωγικότητας. περισσότερη γραμμή καλύτερης προσαρμογής Η γραμμή καλύτερης προσαρμογής είναι μια έξοδος ανάλυσης παλινδρόμησης που αντιπροσωπεύει τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών σε ένα σύνολο δεδομένων. περισσότερα Το εσωτερικό του πολυωνύμου Trending Trending Polynomial Trending περιγράφει ένα πρότυπο στα δεδομένα που είναι καμπύλα ή σπάει από μια ευθεία γραμμική τάση. Συχνά εμφανίζεται σε ένα μεγάλο σύνολο δεδομένων που περιέχει πολλές διακυμάνσεις. περισσότερα Αντίστροφη συσχέτιση μας λέει Μια αντίστροφη συσχέτιση, επίσης γνωστή ως αρνητική συσχέτιση, είναι μια αντίθετη σχέση ανάμεσα σε δύο μεταβλητές που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. περισσότερα Τι είναι ο όρος σφάλματος "> Ο όρος σφάλματος ορίζεται ως μια μεταβλητή σε ένα στατιστικό μοντέλο, το οποίο δημιουργείται όταν το μοντέλο δεν αντιπροσωπεύει πλήρως την πραγματική σχέση μεταξύ ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών.