Κατανόηση του μοντέλου τιμολόγησης δυαδικών επιλογών

Η συμφωνία για την ακριβή τιμολόγηση για οποιοδήποτε εμπορεύσιμο περιουσιακό στοιχείο είναι προκλητική - γι 'αυτό οι τιμές των μετοχών μεταβάλλονται συνεχώς. Στην πραγματικότητα, οι εταιρείες δεν αλλάζουν σχεδόν τις αποτιμήσεις τους σε καθημερινή βάση, αλλά οι τιμές των μετοχών και οι αποτιμήσεις τους αλλάζουν σχεδόν κάθε δευτερόλεπτο. Αυτή η δυσκολία στην επίτευξη συναίνεσης σχετικά με τη σωστή τιμολόγηση για οποιοδήποτε εμπορεύσιμο περιουσιακό στοιχείο οδηγεί σε βραχυπρόθεσμες ευκαιρίες αρμπιτράζ.

Αλλά πολλές επιτυχείς επενδύσεις βράζουν σε ένα απλό ζήτημα της σημερινής αποτίμησης - ποια είναι η σωστή τρέχουσα τιμή σήμερα για μια αναμενόμενη μελλοντική αποπληρωμή;

Επιλογές διμερών επιλογών

Σε μια ανταγωνιστική αγορά, προκειμένου να αποφευχθούν ευκαιρίες arbitrage, τα περιουσιακά στοιχεία με ίδιες δομές πληρωμών πρέπει να έχουν την ίδια τιμή. Η αποτίμηση των επιλογών υπήρξε δύσκολο έργο και οι διακυμάνσεις των τιμών οδηγούν σε ευκαιρίες αρμπιτράζ. Η Black-Scholes παραμένει ένα από τα πιο δημοφιλή μοντέλα που χρησιμοποιούνται για επιλογές τιμολόγησης, αλλά έχει περιορισμούς.

Το μοντέλο τιμολόγησης διωνυμικής επιλογής είναι μια άλλη δημοφιλής μέθοδος που χρησιμοποιείται για τις επιλογές τιμολόγησης.

Παραδείγματα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια επιλογή αγοράς για ένα συγκεκριμένο απόθεμα με τρέχουσα τιμή αγοράς $ 100. Η επιλογή ATM (Money-at-the-Money) έχει τιμή απεργίας $ 100 με χρόνο λήξης ενός έτους. Υπάρχουν δύο έμποροι, ο Peter και ο Paula, οι οποίοι και οι δύο συμφωνούν ότι η τιμή των μετοχών είτε θα αυξηθεί στα $ 110 είτε θα μειωθεί στα $ 90 σε ένα χρόνο.

Συμφωνούν σχετικά με τα αναμενόμενα επίπεδα τιμών σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα ενός έτους, αλλά διαφωνούν σχετικά με την πιθανότητα της άνω ή κάτω κίνησης. Ο Πέτρος πιστεύει ότι η πιθανότητα της τιμής του μετοχικού κεφαλαίου να είναι $ 110 είναι 60%, ενώ η Paula πιστεύει ότι είναι 40%.

Βάσει αυτού, ποιος θα ήταν διατεθειμένος να πληρώσει περισσότερη τιμή για την επιλογή κλήσης; Πιθανώς ο Πέτρος, καθώς αναμένει μεγάλη πιθανότητα να κινηθεί προς τα πάνω.

Υπολογισμοί επιλογών δυαδικών ψηφίων

Τα δύο περιουσιακά στοιχεία, από τα οποία εξαρτάται η αποτίμηση, είναι η επιλογή αγοράς και το υποκείμενο αποθεματικό. Υπάρχει συμφωνία μεταξύ των συμμετεχόντων ότι η υποκείμενη χρηματιστηριακή τιμή μπορεί να μετακινηθεί από τα τρέχοντα $ 100 σε $ 110 ή $ 90 σε ένα χρόνο και δεν υπάρχουν άλλες κινήσεις τιμών.

Σε έναν κόσμο χωρίς αρμπιτράζ, εάν πρέπει να δημιουργήσετε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από αυτά τα δύο περιουσιακά στοιχεία, το call option και το υποκείμενο αποθεματικό, έτσι ώστε ανεξάρτητα από το πού πηγαίνει η υποκείμενη τιμή - $ 110 ή $ 90 - η καθαρή απόδοση του χαρτοφυλακίου παραμένει πάντοτε η ίδια . Ας υποθέσουμε ότι αγοράζετε μετοχές "d" της υποκείμενης και μιας σύντομης επιλογής κλήσης για να δημιουργήσετε αυτό το χαρτοφυλάκιο.

Αν η τιμή φτάσει στα $ 110, οι μετοχές σας θα είναι $ 110 * d και θα χάσετε $ 10 για την πληρωμή σύντομης κλήσης. Η καθαρή αξία του χαρτοφυλακίου σας θα είναι (110d - 10).

Αν η τιμή μειωθεί στα $ 90, οι μετοχές σας θα είναι αξίας $ 90 * d, και η επιλογή θα λήξει άχρηστα. Η καθαρή αξία του χαρτοφυλακίου σας θα είναι (90δ).

Εάν θέλετε η αξία του χαρτοφυλακίου σας να παραμείνει η ίδια ανεξάρτητα από το πού πηγαίνει η υποκείμενη τιμή μετοχής, τότε η αξία του χαρτοφυλακίου σας θα πρέπει να παραμείνει η ίδια και στις δύο περιπτώσεις:

h (d) -m = l (d) όπου: h = Υψηλότερη υποκείμενη τιμή = Αριθμός υποκείμενων μετοχών m = (d) \\ & \ textbf {where:} \\ & h = \ text {Υψηλότερη πιθανή υποκείμενη τιμή} \\ & d = \ text {Αριθμός υποκείμενων μετοχών} \\ & l = \ text {Χαμηλότερη πιθανή υποκείμενη τιμή} \\ \ end {ευθυγραμμισμένη} h (d) -m = l (d) όπου: h = payoffl = Χαμηλότερη πιθανή υποκείμενη τιμή

Έτσι, εάν αγοράσετε μισό μερίδιο, αν υποτεθεί ότι είναι δυνατή η κλασματική αγορά, θα μπορέσετε να δημιουργήσετε ένα χαρτοφυλάκιο έτσι ώστε η αξία του να παραμείνει η ίδια και στις δύο πιθανές καταστάσεις μέσα στο δεδομένο χρονικό διάστημα ενός έτους.

110d-10 = 90dd = 12 \ begin {aligned} & 110d-10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2}

Αυτή η τιμή χαρτοφυλακίου, που υποδεικνύεται από (90d) ή (110d - 10) = 45, είναι ένα έτος κάτω από τη γραμμή. Για να υπολογίσει την παρούσα αξία του, μπορεί να μειωθεί με τον συντελεστή απόδοσης χωρίς κινδύνους (υποθέτοντας 5%).

Η τρέχουσα τιμή = 90d × e (-5% × 1 έτος) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ begin {aligned} \ text {Present Value} & = 90d \ times e ^ {Year})} \\ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} Παρούσα αξία = 90d × e (-5% × 1 Έτος) = 45 × 0.9523 = 42.85

Δεδομένου ότι προς το παρόν το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από ½ μερίδιο των υποκείμενων μετοχών (με αγοραία τιμή $ 100) και μία σύντομη κλήση, πρέπει να είναι ίση με την παρούσα αξία.

12 × 100-1 × Τιμή κλήσης = $ 42.85Call Price = $ 7.14, δηλαδή η τιμή κλήσης της ημέρας \ begin {aligned} & \ frac {1} {2} \ times 100 - 1 \ times \ \ $ {$} $ {$}} $ {$}} $ {$}} { την τιμή κλήσης του σήμερα

Δεδομένου ότι αυτό βασίζεται στην υπόθεση ότι η αξία του χαρτοφυλακίου παραμένει η ίδια ανεξάρτητα από τον τρόπο που πηγαίνει η υποκείμενη τιμή, η πιθανότητα μιας μετακίνησης προς τα πάνω ή προς τα κάτω δεν παίζει κανένα ρόλο. Το χαρτοφυλάκιο παραμένει χωρίς κινδύνους ανεξάρτητα από τις υποκείμενες κινήσεις τιμών.

Και στις δύο περιπτώσεις (υποτίθεται ότι θα μετακινηθείτε σε $ 110 και κάτω θα μετακινηθείτε σε $ 90), το χαρτοφυλάκιό σας είναι ουδέτερο σε σχέση με τον κίνδυνο και κερδίζει το μηδενικό ποσοστό απόδοσης.

Ως εκ τούτου, τόσο οι έμποροι, ο Peter και η Paula, θα ήταν διατεθειμένοι να πληρώσουν τα ίδια 7, 14 δολάρια για αυτή την επιλογή, παρά τις διαφορετικές αντιλήψεις τους σχετικά με τις πιθανότητες ανόδου των κινήσεων (60% και 40%). Οι ατομικά αντιληπτές πιθανότητες δεν έχουν σημασία στην εκτίμηση των δικαιωμάτων προαίρεσης.

Υποθέτοντας, αντιθέτως, ότι οι ατομικές πιθανότητες έχουν σημασία, οι ευκαιρίες αρμπιτράζ μπορεί να έχουν παρουσιαστεί. Στον πραγματικό κόσμο, τέτοιες ευκαιρίες αρμπιτράζ υπάρχουν με μικρές διαφορές τιμών και εξαφανίζονται βραχυπρόθεσμα.

Αλλά πού είναι η πολυσυζητημένη μεταβλητότητα σε όλους αυτούς τους υπολογισμούς, ένας σημαντικός και ευαίσθητος παράγοντας που επηρεάζει την τιμολόγηση των επιλογών;

Η αστάθεια περιλαμβάνεται ήδη στη φύση του ορισμού του προβλήματος. Υποθέτοντας δύο επίπεδα τιμών ($ 110 και $ 90) δύο (και μόνο δύο - και επομένως το όνομα "binomial"), η μεταβλητότητα είναι σιωπηρή σε αυτή την υπόθεση και συμπεριλαμβάνεται αυτόματα (10% σε αυτό το παράδειγμα).

Black-Scholes

Αλλά αυτή η προσέγγιση είναι σωστή και συνεπής με την κοινώς χρησιμοποιούμενη τιμολόγηση της Black-Scholes; Τα αποτελέσματα των αριθμητικών επιλογών (ευγενική προσφορά του OIC) ταιριάζουν απόλυτα με την υπολογισμένη τιμή:

Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος δεν είναι τόσο απλός όσο "μόνο δύο κράτη". Το απόθεμα μπορεί να φτάσει σε αρκετά επίπεδα τιμών πριν από τη λήξη του χρόνου.

Είναι δυνατή η συμπερίληψη όλων αυτών των πολλαπλών επιπέδων σε ένα διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης που περιορίζεται σε δύο μόνο επίπεδα ">

Απλή Μαθηματικά

Για να γενικεύσετε αυτό το πρόβλημα και τη λύση:

Το "X" είναι η τρέχουσα τιμή αγοράς ενός αποθέματος και "X * u" και "X * d" είναι οι μελλοντικές τιμές για μετακινήσεις άνω και κάτω "t" Ο παράγοντας "u" θα είναι μεγαλύτερος από έναν, καθώς υποδηλώνει μια κίνηση προς τα πάνω και το "d" θα βρίσκεται μεταξύ μηδέν και ενός. Για το παραπάνω παράδειγμα, u = 1, 1 και d = 0, 9.

Οι πληρωμές δικαιωμάτων προαίρεσης κλήσης είναι "P _up " και "P _dn " για κινήσεις άνω και κάτω κατά τη λήξη.

Αν δημιουργήσετε ένα χαρτοφυλάκιο μετοχών "s" που αγοράσατε σήμερα και μια σύντομη επιλογή κλήσης, τότε μετά το χρόνο "t":

VUM = s × X × u-Pupde: VUM = Αξία χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μετακίνησης προς τα πάνω \ begin {aligned} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} & \ textbf {where:} \\ & \ text {VUM} = \ κείμενο {Τιμή χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μετακίνησης προς τα πάνω} \\ \ end {aligned} VUM = s × X × u-Pup όπου: = Αξία χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μετακίνησης προς τα πάνω

VDM = s × X × d-Pdownwhere: VDM = Αξία χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μείωσης κίνησης \ begin {ευθυγραμμισμένο} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} & \ textbf {where:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Αξία χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μετακίνησης κάτω} \\ \ end {aligned} VDM = s × X × d-Pdown όπου: = Αξία χαρτοφυλακίου σε περίπτωση μείωσης της κίνησης

Για παρόμοια αποτίμηση σε κάθε περίπτωση μετακίνησης τιμής:

s × Χ × u-Pup = s × X × d-Pdowns \ φορές X \ times u - P_ \ text {up} = s \ φορές X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u- Pup = s × Χ × d-Pdown

s = Pup-PdownX × (u-d) = Ο αριθμός των μετοχών που αγοράζονται για = ένα χαρτοφυλάκιο χωρίς κίνδυνο \ begin {aligned} s & } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Ο αριθμός των μετοχών που θα αγοραστούν για το \\ & \ phantom { s = Χ × (u-d) Pup -Pdown = Ο αριθμός των μετοχών που αγοράζονται για = ένα χαρτοφυλάκιο χωρίς κίνδυνο

Η μελλοντική αξία του χαρτοφυλακίου στο τέλος των ετών «t» θα είναι:

Σε περίπτωση μετακίνησης προς τα επάνω = s × Χ × u-Pup = Pup-Pdownu-d × u-Pup \ begin {ευθυγραμμισμένο} \ text { Το κείμενο {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} Μετακίνηση προς τα πάνω = s × Χ × u-Pup = u-dPup-Pdown × u-Pup

Σε περίπτωση Down Move = s × Χ × d-Pdown = Pup-Pdownu-d × d-Pdown \ begin {ευθυγραμμισμένο} \ text {Στην περίπτωση Down Move} Το κείμενο {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} Κάτω μετακίνηση = s × Χ × d-Pdown = u-dPup-Pdown × d-Pdown

Η σημερινή αξία μπορεί να επιτευχθεί με την προεξόφλησή της με το μηδενικό ποσοστό απόδοσης:

PV = ε (-rt) × [Pup-Pdownu-d × u-Pup] όπου: PV = Εκτιμητής σημερινής ημέρας = Ρυθμός επιστροφής = (-rt) \ times \ αριστερά [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ u \ όπου:} \\ & \ text {PV} = \ text {Ημέρα σημερινής ημέρας} \\ & r = \ text {Rate of return} \\ & t = \ text { PV = e (-rt) × [u-dPup-Pdown × u-Pup] όπου: PV = Εκτιμητής της σημερινής ημέρας = Ρυθμός επιστροφής =

Αυτό θα πρέπει να ταιριάζει με το χαρτοφυλάκιο των μετοχών "s" στην τιμή X, και η βραχεία τιμή κλήσης "c" (η σημερινή κατοχή του (s * X - c) πρέπει να ισοδυναμεί με αυτόν τον υπολογισμό. όπως και:

Σημείωση: Εάν η πριμοδότηση κλήσης είναι βραχυκυκλωμένη, θα πρέπει να είναι μια προσθήκη στο χαρτοφυλάκιο, όχι μια αφαίρεση.

c = e (-rt) u-d × [(e (-rt) -d) × Pup + (u-e) d} \ times [(e (-rt) - d) \ φορές P_ \ text {up} + (u - e (- × [(e (-rt) -d) × Pup + (u-e (-rt)) × Pdown]

Ένας άλλος τρόπος για να γράψουμε την εξίσωση είναι η αναδιάταξη του:

Λαμβάνοντας "q" ως:

q = e (-rt) -du -dq = \ frac {e (-rt) -d} {u-d} q = u-de

Στη συνέχεια, η εξίσωση γίνεται:

c = e (-rt) × (q × Pup + (1-q) × Pdown) c = e (-rt) \ φορές {q \ κείμενο {κάτω}) c = e (-rt) × (q × Pup + (1-q) × Pdown)

Η αναδιάταξη της εξίσωσης με όρους "q" πρόσφερε μια νέα προοπτική.

Τώρα μπορείτε να ερμηνεύσετε το "q" ως την πιθανότητα της άνω κίνησης του υποκείμενου (ως "q" συνδέεται με το P _up και το "1-q" σχετίζεται με το P _dn ). Συνολικά, η εξίσωση αντιπροσωπεύει την τρέχουσα τιμή προαίρεσης, την προεξοφλημένη αξία της πληρωμής της κατά την λήξη της.

Αυτό το "Q" είναι διαφορετικό

Πώς είναι αυτή η πιθανότητα "q" διαφορετική από την πιθανότητα μιας άνω κίνησης ή μιας κάτω κίνησης του υποκείμενου ">

VSP = q × X × u + (1-q) × X × dwhere: VSP = Τιμή μετοχής κατά την ώρα t \ begin {aligned} & \ text {VSP} q} \ times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VSP} = \ text { × u + (1-q) × X × όπου: VSP = Τιμή μετοχής κατά την ώρα t

Αντικαθιστώντας την τιμή "q" και αναδιατάσσοντας, η τιμή της μετοχής στο χρόνο "t" έρχεται σε:

Τιμή μετοχής = e (rt) × X \ begin {ευθυγραμμισμένο} & \ text {Τιμή Τιμή} = e (rt) \ times X \

Σε αυτόν τον υποτιθέμενο κόσμο των δύο κρατών, η τιμή των μετοχών αυξάνεται απλώς με τον συντελεστή απόδοσης χωρίς κίνδυνο, ακριβώς όπως ένα περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο και ως εκ τούτου παραμένει ανεξάρτητο από οποιονδήποτε κίνδυνο. Οι επενδυτές αδιαφορούν για τον κίνδυνο σε αυτό το μοντέλο, επομένως αυτό αποτελεί το μοντέλο ουδέτερο για τον κίνδυνο.

Οι πιθανότητες "q" και "(1-q)" είναι γνωστές ως πιθανότητες ουδέτερου κινδύνου και η μέθοδος αποτίμησης είναι γνωστή ως μοντέλο αποτίμησης ουδέτερου κινδύνου.

Το παράδειγμα σενάριο έχει μια σημαντική απαίτηση - η μελλοντική διάρθρωση αποδοχών απαιτείται με ακρίβεια (επίπεδο $ 110 και $ 90). Στην πραγματικότητα, αυτή η σαφήνεια σχετικά με τα επίπεδα τιμών που βασίζονται στα βήματα δεν είναι δυνατή. μάλλον η τιμή κινείται τυχαία και μπορεί να εγκατασταθεί σε πολλαπλά επίπεδα.

Για να επεκτείνετε περαιτέρω το παράδειγμα, υποθέστε ότι είναι δυνατά τα επίπεδα τιμών σε δύο στάδια. Γνωρίζουμε τις τελευταίες τελευταίες πληρωμές και πρέπει να εκτιμήσουμε την επιλογή σήμερα (στο αρχικό βήμα):

Εργαζόμενοι προς τα πίσω, η ενδιάμεση αποτίμηση πρώτου σταδίου (σε t = 1) μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις τελικές αποδόσεις στο δεύτερο βήμα (t = 2), στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αυτήν την υπολογισμένη πρώτη βαθμίδα αποτίμησης (t = 1) 0) μπορεί να επιτευχθεί με αυτούς τους υπολογισμούς.

Για να λάβετε την τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης στο δεύτερο αριθμό, χρησιμοποιούνται χρηματικές απολαβές σε τέσσερα και πέντε. Για να λάβετε τιμές για τον τρίτο αριθμό, χρησιμοποιούνται χρηματικές απολαβές σε πέντε και έξι. Τέλος, οι υπολογιζόμενες αποδόσεις σε δύο και τρεις χρησιμοποιούνται για την τιμολόγηση στο νούμερο ένα.

Σημειώστε ότι αυτό το παράδειγμα υποθέτει τον ίδιο παράγοντα για τις μετακινήσεις προς τα πάνω (και προς τα κάτω) και στα δύο βήματα - u και d εφαρμόζονται με σύνθετο τρόπο.

Ένα παράδειγμα εργασίας

Υποθέστε ότι μια επιλογή πώλησης με τιμή άσκησης $ 110 διαπραγματεύεται αυτή τη στιγμή στα $ 100 και λήγει σε ένα χρόνο. Ο ετήσιος συντελεστής χωρίς κίνδυνο είναι 5%. Η τιμή αναμένεται να αυξηθεί κατά 20% και να μειωθεί κατά 15% κάθε έξι μήνες.

Εδώ, u = 1, 2 και d = 0, 85, χ = 100, t = 0, 5

χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο

q = e (-rt) -du -dq = \ frac {e (-rt) -d} {u-d} q = u-de

παίρνουμε q = 0.35802832

αξία του δικαιώματος πώλησης στο σημείο 2,

p2 = e (-rt) × (p × Pupup + (1-q) Pupdn) όπου: p = Τιμή της θέσης πώλησης \ begin {aligned} & p_2 = e {upup} + (1 - q) P_ \ κείμενο {updn}) \\ & \ textbf {where:} \\ & p = \ text {τιμή} (-Rt) × (p × Pupup + (1-q) Pupdn) όπου: p = Τιμή πώλησης

Στην κατάσταση P _upup, το υποκείμενο θα είναι = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 $ που οδηγούν σε P _upup = μηδέν

Στην κατάσταση P _updn, το υποκείμενο θα είναι = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102 που οδηγεί σε P _updn = $ 8

Σε κατάσταση P _dndn, το υποκείμενο θα είναι = 100 * 0.85 * 0.85 = 72.25 δολάρια που οδηγεί σε P _dndn = 37.75 δολάρια

ρ2 = 0.975309912 * (0.35802832 * Ο + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

Ομοίως, ρ3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

p1 = e (-rt) × (q × p2 + (1-q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + × (q × p2 + (1-q) ρ3)

Και ως εκ τούτου η τιμή πώλησης, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 $.

Ομοίως, τα δυαδικά μοντέλα σάς επιτρέπουν να σπάσετε ολόκληρη τη διάρκεια επιλογής για να βελτιώσετε περαιτέρω τα βήματα και τα επίπεδα. Χρησιμοποιώντας προγράμματα υπολογιστών ή υπολογιστικά φύλλα, μπορείτε να εργαστείτε προς τα πίσω ένα βήμα κάθε φορά για να λάβετε την τρέχουσα τιμή της επιθυμητής επιλογής.

Ενα άλλο παράδειγμα

Υποθέστε μια επιλογή πώλησης ευρωπαϊκού τύπου με εννέα μήνες μέχρι τη λήξη της, μια τιμή άσκησης $ 12 και μια τρέχουσα υποκείμενη τιμή στα $ 10. Υποθέστε ένα ποσοστό κινδύνου 5% για όλες τις περιόδους. Υποθέτουμε κάθε τρεις μήνες ότι η υποκείμενη τιμή μπορεί να μετακινηθεί 20% πάνω ή κάτω, δίνοντάς μας u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 και διωνυμικό δέντρο τριών βημάτων.

Το κόκκινο δείχνει τις υποκείμενες τιμές, ενώ το μπλε δείχνει την αποπληρωμή των δικαιωμάτων πώλησης.

Η πιθανότητα ουδέτερου κινδύνου "q" υπολογίζεται στο 0, 531446.

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω τιμή των τιμών «q» και των απολαβών σε t = εννέα μήνες, οι αντίστοιχες τιμές σε t = έξι μήνες υπολογίζονται ως:

Περαιτέρω, χρησιμοποιώντας αυτές τις υπολογιζόμενες τιμές σε t = 6, τιμές σε t = 3 στη συνέχεια t = 0 είναι:

Αυτό δίνει την σημερινή αξία μιας δυνατότητας πώλησης ως $ 2, 18, αρκετά κοντά σε αυτό που θα βρεθείτε να κάνετε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το μοντέλο Black-Scholes (2, 30 δολάρια).

Η κατώτατη γραμμή

Αν και η χρήση προγραμμάτων υπολογιστών μπορεί να κάνει αυτούς τους εντατικούς υπολογισμούς εύκολο, η πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών παραμένει ένας σημαντικός περιορισμός των δυαδικών μοντέλων για την τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης. Όσο πιο λεπτά είναι τα χρονικά διαστήματα, τόσο πιο δύσκολο είναι να προβλέψουμε τις αποδόσεις στο τέλος κάθε περιόδου με ακρίβεια υψηλού επιπέδου.

Ωστόσο, η ευελιξία ενσωμάτωσης των αναμενόμενων αλλαγών σε διαφορετικές περιόδους είναι ένα πλεονέκτημα, το οποίο το καθιστά κατάλληλο για την τιμολόγηση των αμερικανικών επιλογών, συμπεριλαμβανομένων των αποτιμήσεων στις αρχές της άσκησης.

Οι τιμές που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας το διωνυμικό μοντέλο ταιριάζουν απόλυτα με εκείνες που υπολογίζονται από άλλα ευρέως χρησιμοποιούμενα μοντέλα όπως το Black-Scholes, το οποίο υποδηλώνει τη χρησιμότητα και την ακρίβεια των διωνυμικών μοντέλων για την τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης. Τα διωνυμικά μοντέλα τιμολόγησης μπορούν να αναπτυχθούν σύμφωνα με τις προτιμήσεις ενός εμπόρου και μπορούν να λειτουργήσουν ως εναλλακτική λύση στην Black-Scholes.