Ο ορισμός του θεωρήματος του Bayes
Το θεώρημα του Bayes, το οποίο πήρε το όνομά του από τον βρετανό μαθηματικό Thomas Bayes του 18ου αιώνα, είναι ένας μαθηματικός τύπος για τον προσδιορισμό της υπό όρους πιθανότητας. Το θεώρημα παρέχει έναν τρόπο αναθεώρησης των υφιστάμενων προβλέψεων ή θεωριών (πιθανότητες επικαιρότητας) με δεδομένες νέες ή πρόσθετες αποδείξεις. Στη χρηματοδότηση, το θεώρημα του Bayes μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αξιολογήσει τον κίνδυνο δανεισμού χρημάτων σε πιθανούς δανειολήπτες.
Το θεώρημα του Bayes ονομάζεται επίσης κανόνας του Bayes ή του νόμου Bayes και αποτελεί το θεμέλιο του πεδίου των Bayesian στατιστικών.
Βασικές τακτικές
- Το Θεώρημα του Bayes σάς επιτρέπει να ενημερώσετε τις προβλεπόμενες πιθανότητες ενός συμβάντος ενσωματώνοντας νέες πληροφορίες.
- Το θεώρημα του Bayes πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Thomas Bayes του 18ου αιώνα.
- Συχνά χρησιμοποιείται στη χρηματοδότηση για την επικαιροποίηση της αξιολόγησης κινδύνου.
Ο τύπος για το θεώρημα του Bayes είναι
P (A ib) = P (A ⋂ B) P (B) = P (A) ⋅ P (B | A) P (B) Η πιθανότητα του B που συμβαίνει P (A|B) = Η πιθανότητα του Α που δίνεται BP (B|A) = Η πιθανότητα του Β που δίνεται AP (A⋂B)) = Η πιθανότητα τόσο Α και Β που συμβαίνουν \ begin {aligned} & P \ αριστερά (A | δεξιά)} = \ frac {P \ αριστερά (A \ δεξιά)} \ cdotP \ αριστερά (B} {P \ αριστερά (B \ δεξιά)} \\ & \ textbf {where:} \\ & P \ αριστερά (A \ right) = \ text { (B | δεξιά) = \ text {Η πιθανότητα εμφάνισης του B} \\ & P \ αριστερά (A | B \ = \ text {Η πιθανότητα B που δίνεται A} \\ & P \ αριστερά (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text { (B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B|A) όπου: P (A) (A | B) = Η πιθανότητα ενός Β δεδομένου BP (B|A) = Η πιθανότητα Β που δίνεται AP (A⋂B)) = Η πιθανότητα τόσο Α και Β που συμβαίνουν
Το Θεώρημα του Bayes εξηγείται
Οι εφαρμογές του θεωρήματος είναι ευρέως διαδεδομένες και δεν περιορίζονται στον οικονομικό τομέα. Για παράδειγμα, το θεώρημα του Bayes μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της ακρίβειας των αποτελεσμάτων των ιατρικών εξετάσεων λαμβάνοντας υπόψη το πόσο πιθανό είναι να υπάρξει μια συγκεκριμένη ασθένεια και η γενική ακρίβεια της εξέτασης. Το θεώρημα του Bayes βασίζεται στην ενσωμάτωση προηγούμενων κατανομών πιθανότητας προκειμένου να δημιουργηθούν πιθανότητες posterior. Προηγούμενη πιθανότητα, στο Bayesian στατιστικό συμπέρασμα, είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος πριν συλλεχθούν νέα δεδομένα. Αυτή είναι η καλύτερη ορθολογική εκτίμηση της πιθανότητας ενός αποτελέσματος βασισμένου στην τρέχουσα γνώση πριν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος. Πίσω πιθανότητα είναι η αναθεωρημένη πιθανότητα ενός συμβάντος που λαμβάνει χώρα αφού ληφθούν υπόψη νέες πληροφορίες. Η πιθανότητα posterior υπολογίζεται με την ενημέρωση της προηγούμενης πιθανότητας χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bayes. Από στατιστικής άποψης, η πιθανότητα του οπίσθιου γεγονότος Α συμβαίνει δεδομένου ότι συνέβη το συμβάν Β.
Το θεώρημα του Bayes δίνει έτσι την πιθανότητα ενός γεγονότος που βασίζεται σε νέες πληροφορίες που είναι ή μπορεί να σχετίζονται με αυτό το γεγονός. Ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δει πώς η πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος επηρεάζεται από υποθετικές νέες πληροφορίες, υποθέτοντας ότι οι νέες πληροφορίες θα αποδειχθούν αληθινές. Για παράδειγμα, λέει ότι μια ενιαία κάρτα προέρχεται από ένα πλήρες κατάστρωμα 52 καρτών. Η πιθανότητα ότι η κάρτα είναι βασιλιάς είναι 4 διαιρούμενη με 52, η οποία ισούται με 1/13 ή περίπου 7, 69%. Να θυμάστε ότι υπάρχουν 4 βασιλιάδες στο κατάστρωμα. Τώρα, ας υποθέσουμε ότι αποκαλύπτεται ότι η επιλεγμένη κάρτα είναι μια κάρτα προσώπου. Η πιθανότητα ότι η επιλεγμένη κάρτα είναι βασιλιάς, δεδομένου ότι είναι μια κάρτα προσώπου, είναι 4 διαιρούμενη με 12, ή περίπου 33, 3%, καθώς υπάρχουν 12 κάρτες προσώπου σε ένα κατάστρωμα.
Παραγωγή του τύπου θεώρηα Bayes με ένα παράδειγμα
Το θεώρημα του Bayes ακολουθεί απλώς από τα αξιώματα της υπό όρους πιθανότητας. Υποδεικνυόμενη πιθανότητα είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος δεδομένου ότι συνέβη ένα άλλο γεγονός. Για παράδειγμα, μια απλή ερώτηση πιθανότητας μπορεί να ρωτήσει: "Ποια είναι η πιθανότητα πτώσης της τιμής των μετοχών της Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN);" Η υπό όρους πιθανότητα παίρνει το ερώτημα αυτό ένα βήμα παραπέρα θέτοντας: «Ποια είναι η πιθανότητα να μειωθεί η τιμή των μετοχών AMZN δεδομένου ότι ο δείκτης Dow Jones Industrial Average (DJIA) έπεσε νωρίτερα;»
Η υπό όρους πιθανότητα του Α δεδομένου ότι έχει συμβεί το Β μπορεί να εκφραστεί ως:
Εάν το Α είναι: "Η τιμή AMZN πέφτει", τότε P (AMZN) είναι η πιθανότητα να πέσει το AMZN. και το Β είναι: "Το DJIA είναι ήδη κάτω" και το P (DJIA) είναι η πιθανότητα να πέσει ο DJIA. τότε η έκφραση υπό όρους πιθανολογείται ότι «η πιθανότητα να πέσει η AMZN με δεδομένη την πτώση DJIA είναι ίση με την πιθανότητα πτώσης της τιμής AMZN και του DJIA να μειώνεται λόγω της πιθανότητας μείωσης του δείκτη DJIA.
Ρ (ΑΜΖΝ | DJIA) = Ρ (ΑΜΖΝ και DJIA) / Ρ (DJIA)
P (AMZN και DJIA) είναι η πιθανότητα εμφάνισης τόσο του Α όσο και του Β. Αυτό είναι επίσης το ίδιο με την πιθανότητα εμφάνισης του Α πολλαπλασιασμένου με την πιθανότητα εμφάνισης του Β δεδομένου ότι εμφανίζεται το Α, εκφρασμένο ως P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Το γεγονός ότι αυτές οι δύο εκφράσεις είναι ίσες οδηγεί στο θεώρημα του Bayes, το οποίο είναι γραμμένο ως:
εάν, Ρ (ΑΜΖΝ και DJIA) = Ρ (ΑΜΖΝ) χ Ρ (DJIA | AMZN) = Ρ (DJIA)
τότε, Ρ (ΑΜΖΝ | DJIA) = [Ρ (ΑΜΖΝ) χ Ρ (DJIA | AMZN)] / Ρ (DJIA).
Όπου P (AMZN) και P (DJIA) είναι οι πιθανότητες του Amazon και του Dow Jones να πέφτουν, χωρίς να λαμβάνουν υπόψη το ένα το άλλο.
Ο τύπος εξηγεί τη σχέση μεταξύ της πιθανότητας της υπόθεσης πριν να δει κανείς τα στοιχεία ότι το P (AMZN) και η πιθανότητα της υπόθεσης μετά από να πάρει τα αποδεικτικά στοιχεία P (AMZN | DJIA), δεδομένης μιας υπόθεσης για την Amazon που έδωσε στοιχεία στο Dow.
Αριθμητικό παράδειγμα του θεωρήματος του Bayes
Ως αριθμητικό παράδειγμα, φανταστείτε ότι υπάρχει μια δοκιμή φαρμάκων που είναι 98% ακριβής, δηλαδή το 98% του χρόνου δείχνει ένα πραγματικό θετικό αποτέλεσμα για κάποιον που χρησιμοποιεί το φάρμακο και το 98% του χρόνου δείχνει ένα πραγματικό αρνητικό αποτέλεσμα για τους μη χρήστες του φάρμακο. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι το 0, 5% των ανθρώπων χρησιμοποιεί το φάρμακο. Εάν ένα άτομο που επιλέγει τυχαία δοκιμές θετικά για το φάρμακο, μπορεί να γίνει ο ακόλουθος υπολογισμός για να διαπιστωθεί εάν η πιθανότητα ότι το άτομο είναι στην πραγματικότητα χρήστης του φαρμάκου.
(0, 98 χ 0, 005) / [(0, 98 χ 0, 005) + ((1-0, 98) χ (1-0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Το θεώρημα του Bayes δείχνει ότι ακόμα και αν ένα άτομο έχει δοκιμαστεί θετικά σε αυτό το σενάριο, είναι πολύ πιθανότερο ότι το άτομο δεν είναι χρήστης του φαρμάκου.
Σύγκριση επενδυτικών λογαριασμών Όνομα παροχέα Περιγραφή Αποκάλυψη διαφημιζόμενου × Οι προσφορές που εμφανίζονται σε αυτόν τον πίνακα προέρχονται από συνεργασίες από τις οποίες η Investopedia λαμβάνει αποζημίωση.