Βελτιστοποιήστε το χαρτοφυλάκιό σας χρησιμοποιώντας την κανονική διανομή

Η κανονική κατανομή είναι η κατανομή πιθανοτήτων που συγκεντρώνει όλες τις τιμές της συμμετρικά με τα περισσότερα από τα αποτελέσματα που βρίσκονται γύρω από τον μέσο όρο της πιθανότητας.

Κανονική (καμπύλη καμπύλης) διανομής

Τα σύνολα δεδομένων (όπως το ύψος των 100 ανθρώπων, τα σήματα που λαμβάνονται από 45 μαθητές σε μια τάξη κλπ.) Τείνουν να έχουν πολλές τιμές στο ίδιο σημείο δεδομένων ή εντός του ίδιου εύρους. Αυτή η κατανομή των σημείων δεδομένων ονομάζεται κανονική κατανομή καμπύλης ή καμπάνας.

Για παράδειγμα, σε μια ομάδα 100 ατόμων, 10 μπορεί να είναι κάτω από 5 πόδια ψηλά, 65 μπορεί να σταθεί μεταξύ 5 και 5, 5 πόδια και 25 μπορεί να είναι πάνω από 5, 5 πόδια. Αυτή η κατανομή δεσμευμένης περιοχής μπορεί να γραφεί ως εξής:

Παρομοίως, τα σημεία δεδομένων που παριστάνονται σε γραφικά για κάθε δεδομένο σύνολο δεδομένων μπορεί να μοιάζουν με διαφορετικούς τύπους διανομών. Τρία από τα πιο συνηθισμένα είναι αριστερά ευθυγραμμισμένα, ευθυγραμμισμένα με το δεξί και μπερδεμένα διανομές:

Σημειώστε την κόκκινη γραμμή τάσης σε κάθε ένα από αυτά τα γραφήματα. Αυτό δείχνει κατά προσέγγιση την τάση κατανομής δεδομένων. Η πρώτη, "LEFT Aligned Distribution", δείχνει ότι η πλειοψηφία των σημείων δεδομένων πέφτει στο χαμηλότερο εύρος τιμών. Στο δεύτερο γράφημα "Δίκτυο ευθυγραμμισμένης διανομής", η πλειοψηφία των σημείων δεδομένων πέφτει στο υψηλότερο τέλος της περιοχής, ενώ η τελευταία, "Jumbled Distribution", αντιπροσωπεύει ένα μικτό σύνολο δεδομένων χωρίς σαφή τάση.

Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις όπου η κατανομή των σημείων δεδομένων τείνει να είναι γύρω από μια κεντρική τιμή και το γράφημα δείχνει μια τέλεια κανονική κατανομή - εξίσου ισορροπημένη στις δύο πλευρές, με τον μεγαλύτερο αριθμό σημείων δεδομένων συγκεντρωμένα στο κέντρο.

Εδώ είναι ένα τέλειο, κανονικά κατανεμημένο σύνολο δεδομένων:

Η κεντρική τιμή εδώ είναι 50 (η οποία έχει τον μεγαλύτερο αριθμό σημείων δεδομένων) και η διανομή αποκλίνει ομοιόμορφα προς ακραίες τελικές τιμές 0 και 100 (οι οποίες έχουν τον μικρότερο αριθμό σημείων δεδομένων). Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική γύρω από την κεντρική τιμή με τις μισές τιμές σε κάθε πλευρά.

Πολλά παραδείγματα της πραγματικής ζωής ταιριάζουν με τη διανομή καμπύλης κουδουνιών:

• Πετάξτε ένα δίκαιο κέρμα πολλές φορές (100 φορές ή περισσότερο) και θα έχετε μια ισορροπημένη κανονική κατανομή των κεφαλών και των ουρών.
• Ρίξτε ένα ζευγάρι δίκαιων ζαριών πολλές φορές (πχ 100 φορές ή περισσότερο) και το αποτέλεσμα θα είναι μια ισορροπημένη, κανονική κατανομή κεντραρισμένη γύρω από τον αριθμό 7 και ομοιόμορφα προς τα κάτω προς τις άκρες 2 και 12.
• Το ύψος των ατόμων σε μια ομάδα σημαντικού μεγέθους και σημείων που λαμβάνονται από άτομα σε μια τάξη ακολουθούν και τα φυσιολογικά πρότυπα διανομής.
• Στη χρηματοδότηση, αλλαγές στις τιμές των λογαρίθμων των τιμών συναλλάγματος, των δεικτών τιμών και των τιμών των μετοχών θεωρείται ότι κατανέμονται κανονικά.

Κίνδυνος και αποδόσεις

Κάθε επένδυση έχει δύο πτυχές: τον κίνδυνο και την απόδοση. Οι επενδυτές αναζητούν τον χαμηλότερο δυνατό κίνδυνο για την υψηλότερη δυνατή απόδοση. Η κανονική κατανομή ποσοτικοποιεί αυτές τις δύο πλευρές με το μέσο όρο για τις αποδόσεις και την τυπική απόκλιση για τον κίνδυνο. (Για περισσότερες πληροφορίες, ανατρέξτε στην ενότητα "Ανάλυση μέσης απόκλισης.")

Μέση ή αναμενόμενη τιμή

Μια συγκεκριμένη μέση μεταβολή της τιμής μιας μετοχής θα μπορούσε να είναι 1, 5% σε ημερήσια βάση - πράγμα που σημαίνει ότι κατά μέσο όρο αυξάνεται κατά 1, 5%. Αυτή η μέση τιμή ή η αναμενόμενη τιμή που αντιπροσωπεύει απόδοση μπορεί να φθάσει στον υπολογισμό του μέσου όρου σε ένα αρκετά μεγάλο σύνολο δεδομένων που περιέχει τις ιστορικές ημερήσιες μεταβολές των τιμών αυτού του αποθέματος. Όσο υψηλότερος είναι ο μέσος όρος, τόσο το καλύτερο.

Τυπική απόκλιση

Η τυπική απόκλιση υποδηλώνει το ποσό με το οποίο οι τιμές αποκλίνουν κατά μέσο όρο από το μέσο όρο. Όσο υψηλότερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο πιο επικίνδυνη είναι η επένδυση, καθώς οδηγεί σε μεγαλύτερη αβεβαιότητα.

Εδώ είναι μια γραφική παράσταση του ίδιου:

Ως εκ τούτου, η γραφική αναπαράσταση της κανονικής κατανομής μέσω της μέσης και της τυπικής απόκλισης επιτρέπει την αναπαράσταση τόσο των επιστροφών όσο και των κινδύνων μέσα σε ένα σαφώς καθορισμένο εύρος.

Βοηθά να γνωρίζουμε (και να είμαστε βέβαιοι με βεβαιότητα) ότι αν κάποιο σύνολο δεδομένων ακολουθεί το κανονικό μοτίβο διανομής, ο μέσος όρος του θα μας επιτρέψει να μάθουμε τι αναμένει να περιμένουμε και η τυπική απόκλιση του θα μας επιτρέψει να γνωρίζουμε ότι περίπου το 68% θα είναι εντός 1 τυπικής απόκλισης, 95% εντός 2 τυπικών αποκλίσεων και 99% των τιμών θα εμπίπτει σε 3 τυπικές αποκλίσεις. Ένα σύνολο δεδομένων που έχει μέση τιμή 1, 5 και τυπική απόκλιση 1 είναι πολύ πιο επικίνδυνο από ένα άλλο σύνολο δεδομένων που έχει μέσο όρο 1, 5 και τυπική απόκλιση 0, 1.

Η γνώση αυτών των αξιών για κάθε επιλεγμένο περιουσιακό στοιχείο (δηλαδή μετοχές, ομόλογα και κεφάλαια) θα καταστήσει τον επενδυτή ενήμερο για τις αναμενόμενες αποδόσεις και κινδύνους.

Είναι εύκολο να εφαρμοστεί αυτή η έννοια και να αντιπροσωπεύει τον κίνδυνο και την απόδοση σε ένα μόνο απόθεμα, ομόλογο ή ταμείο. Αλλά μπορεί να επεκταθεί σε χαρτοφυλάκιο πολλαπλών περιουσιακών στοιχείων ">

Τα άτομα αρχίζουν να διαπραγματεύονται αγοράζοντας ένα μόνο απόθεμα ή ομολογία ή επενδύοντας σε αμοιβαίο κεφάλαιο. Σταδιακά, τείνουν να αυξάνουν τις συμμετοχές τους και να αγοράζουν πολλαπλάσια αποθέματα, κεφάλαια ή άλλα περιουσιακά στοιχεία, δημιουργώντας έτσι ένα χαρτοφυλάκιο. Σε αυτό το αυξητικό σενάριο, τα άτομα χτίζουν τα χαρτοφυλάκιά τους χωρίς στρατηγική ή πολύ προνοητικότητα. Οι επαγγελματίες διαχειριστές κεφαλαίων, οι έμποροι και οι διαμορφωτές της αγοράς ακολουθούν μια συστηματική μέθοδο για να χτίσουν το χαρτοφυλάκιο τους χρησιμοποιώντας μια μαθηματική προσέγγιση που ονομάζεται σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίων (MPT) η οποία βασίζεται στην έννοια της "κανονικής διανομής".

Σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου

Η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου (MPT) προσφέρει μια συστηματική μαθηματική προσέγγιση που στοχεύει στη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης απόδοσης του χαρτοφυλακίου για ένα δεδομένο ποσό κινδύνου χαρτοφυλακίου επιλέγοντας τις αναλογίες διαφόρων στοιχείων του ενεργητικού. Εναλλακτικά, προσφέρει επίσης την ελαχιστοποίηση του κινδύνου για ένα δεδομένο επίπεδο αναμενόμενης απόδοσης.

Για να επιτευχθεί αυτός ο στόχος, τα περιουσιακά στοιχεία που θα συμπεριληφθούν στο χαρτοφυλάκιο δεν θα πρέπει να επιλέγονται μόνο με βάση τις μεμονωμένες ατομικές τους αξίες, αλλά με βάση τον τρόπο με τον οποίο θα εκτελεί κάθε στοιχείο σε σχέση με τα υπόλοιπα στοιχεία του χαρτοφυλακίου.

Με λίγα λόγια, το MPT ορίζει πώς να επιτυγχάνεται η καλύτερη διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου για τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα: μέγιστη απόδοση για ένα αποδεκτό επίπεδο κινδύνου ή ελάχιστο κίνδυνο για ένα επιθυμητό επίπεδο απόδοσης.

Τα οικοδομικά τετράγωνα

Το MPT ήταν μια τόσο επαναστατική ιδέα όταν εισήχθη ότι οι εφευρέτες του κέρδισαν ένα ευγενές βραβείο. Η θεωρία αυτή παρείχε με επιτυχία έναν μαθηματικό τύπο για να κατευθύνει τη διαφοροποίηση στην επένδυση.

Η διαφοροποίηση είναι μια τεχνική διαχείρισης των κινδύνων, η οποία απομακρύνει τον κίνδυνο "όλων των αυγών σε ένα καλάθι" επενδύοντας σε μη συσχετισμένα αποθέματα, κλάδους ή κλάσεις περιουσιακών στοιχείων. Στην ιδανική περίπτωση, η θετική απόδοση ενός περιουσιακού στοιχείου στο χαρτοφυλάκιο θα ακυρώσει την αρνητική απόδοση άλλων περιουσιακών στοιχείων.

Για να ληφθεί η μέση απόδοση του χαρτοφυλακίου που έχει n διαφορετικά περιουσιακά στοιχεία, υπολογίζεται ο αναλογικός σταθμισμένος συνδυασμός των αποδόσεων των συστατικών στοιχείων του ενεργητικού.

Λόγω της φύσης των στατιστικών υπολογισμών και της κανονικής κατανομής, η συνολική απόδοση του χαρτοφυλακίου (R _p ) υπολογίζεται ως:

Rp = ΣwiRiR_p = \ άθροισμα {w_iR_i} Rp = Σwi Ri

Το άθροισμα (Σ), όπου w _i είναι το αναλογικό βάρος του περιουσιακού στοιχείου i στο χαρτοφυλάκιο, R _i είναι η απόδοση (μέση) του περιουσιακού στοιχείου i.

Ο κίνδυνος χαρτοφυλακίου (ή τυπική απόκλιση) είναι συνάρτηση των συσχετισμών των περιουσιακών στοιχείων που περιλαμβάνονται, για όλα τα ζεύγη στοιχείων ενεργητικού (σε σχέση με το άλλο στο ζεύγος).

Λόγω της φύσης των στατιστικών υπολογισμών και της κανονικής κατανομής, ο συνολικός κίνδυνος χαρτοφυλακίου (Std-dev) _p υπολογίζεται ως:

(Std-dev) p = sqrt [ΣiSjwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij) \ i \ left \ (std-dev \ right) _j \ αριστερά (cor-cof_ {ij} \ right) \ right [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \\ \ end {aligned} (Std-dev) p = sqrt [iΣ jS wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)]

Εδώ, ο cor-cof είναι ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των αποδόσεων των στοιχείων i και j, και το sqrt είναι η τετραγωνική ρίζα.

Αυτό εξασφαλίζει τη σχετική απόδοση κάθε στοιχείου ενεργητικού σε σχέση με την άλλη.

Αν και αυτό φαίνεται μαθηματικά περίπλοκο, η απλή έννοια που εφαρμόζεται εδώ δεν περιλαμβάνει μόνο τις τυποποιημένες αποκλίσεις των μεμονωμένων περιουσιακών στοιχείων, αλλά και τις σχετικές μεταξύ τους.

Ένα καλό παράδειγμα είναι εδώ στο Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον.

Ένα γρήγορο παράδειγμα MPT

Ως πειράματα σκέψης, ας φανταστούμε ότι είμαστε διαχειριστής χαρτοφυλακίου ο οποίος έχει λάβει κεφάλαια και έχει την εντολή να κατανείμει το κεφάλαιο σε δύο διαθέσιμα στοιχεία ενεργητικού (A & B) έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η αναμενόμενη απόδοση και να μειωθεί ο κίνδυνος.

Έχουμε επίσης διαθέσιμες τις ακόλουθες τιμές:

Ra = 0.175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _α = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Ξεκινώντας με ισόποση κατανομή 50-50 σε κάθε περιουσιακό στοιχείο A & B, ο _Rp υπολογίζει σε 0.115 και (Std-dev) _p φτάνει 0.1323. Μια απλή σύγκριση μας λέει ότι για αυτό το χαρτοφυλάκιο περιουσιακών στοιχείων, η απόδοση καθώς και ο κίνδυνος είναι ενδιάμεσα μεταξύ των μεμονωμένων αξιών κάθε περιουσιακού στοιχείου.

Ωστόσο, στόχος μας είναι να βελτιώσουμε την απόδοση του χαρτοφυλακίου πέραν του απλού μέσου όρου είτε του μεμονωμένου περιουσιακού στοιχείου και να μειώσουμε τον κίνδυνο, ώστε να είναι χαμηλότερος από αυτόν των μεμονωμένων περιουσιακών στοιχείων.

Ας πάρουμε τώρα μια θέση 1.5 για την κατανομή κεφαλαίου στο περιουσιακό στοιχείο Α και μια θέση κατανομής κεφαλαίου στο στοιχείο Β (αρνητική κατανομή κεφαλαίου σημαίνει ότι το εν λόγω απόθεμα και το εισπραχθέν κεφάλαιο χρησιμοποιούνται για την αγορά του πλεονάσματος του άλλου περιουσιακού στοιχείου με θετική κατανομή κεφαλαίου. άλλα λόγια, είμαστε βραχυπρόθεσμα B για 0, 5 φορές το κεφάλαιο και χρησιμοποιώντας αυτά τα χρήματα για να αγοράσουμε το απόθεμα Α για ποσό 1, 5 φορές του κεφαλαίου.)

Χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε _Rp ως 0.1604 και (Std-dev) _p ως 0.4005.

Ομοίως, μπορούμε να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε διαφορετικά βάρη κατανομής στο περιουσιακό στοιχείο A & B και να φτάσουμε σε διαφορετικά σύνολα Rp και (Std-dev) p. Σύμφωνα με την επιθυμητή απόδοση (Rp), μπορεί κανείς να επιλέξει το πιο αποδεκτό επίπεδο κινδύνου (std-dev) p. Εναλλακτικά, για το επιθυμητό επίπεδο κινδύνου, μπορείτε να επιλέξετε την καλύτερη διαθέσιμη απόδοση χαρτοφυλακίου. Είτε έτσι είτε αλλιώς, μέσω αυτού του μαθηματικού μοντέλου θεωρίας χαρτοφυλακίου, είναι δυνατόν να επιτευχθεί ο στόχος της δημιουργίας ενός αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου με τον επιθυμητό συνδυασμό κινδύνων και αποδόσεων.

Η χρήση αυτοματοποιημένων εργαλείων επιτρέπει στον χρήστη να ανιχνεύει εύκολα και ομαλά τις καλύτερες δυνατές αναλογίες, χωρίς να χρειάζονται μακρά χειροκίνητα υπολογισμούς.

Τα αποτελεσματικά σύνορα, το μοντέλο τιμολόγησης περιουσιακών στοιχείων κεφαλαίου (CAPM) και η τιμολόγηση περιουσιακών στοιχείων χρησιμοποιώντας MPT εξελίσσονται επίσης από το ίδιο κανονικό μοντέλο διανομής και αποτελούν επέκταση της MPT.

Προκλήσεις για το MPT (και την υποκείμενη κανονική διανομή)

Δυστυχώς, κανένα μαθηματικό μοντέλο δεν είναι τέλειο και το καθένα έχει ανεπάρκειες και περιορισμούς.

Η βασική παραδοχή ότι οι αποδόσεις των τιμών των μετοχών ακολουθούν την κανονική διανομή αμφισβητούνται ξανά και ξανά. Υπάρχει επαρκής εμπειρική απόδειξη των περιπτώσεων όπου οι τιμές αποτυγχάνουν να τηρούν την υποτιθέμενη κανονική κατανομή. Η εδραίωση σύνθετων μοντέλων σε τέτοιες υποθέσεις μπορεί να οδηγήσει σε αποτελέσματα με μεγάλες αποκλίσεις.

Προχωρώντας περισσότερο στην MPT, οι υπολογισμοί και οι υποθέσεις σχετικά με τον συντελεστή συσχέτισης και τη συνδιακύμανση που παραμένουν σταθεροί (βάσει ιστορικών δεδομένων) μπορεί να μην ισχύουν αναγκαστικά για τις μελλοντικές αναμενόμενες τιμές. Για παράδειγμα, τα ομόλογα και οι χρηματιστηριακές αγορές παρουσίασαν μια τέλεια συσχέτιση στην αγορά του Ηνωμένου Βασιλείου από την περίοδο 2001 έως 2004, όπου οι αποδόσεις από τα δύο περιουσιακά στοιχεία μειώθηκαν ταυτόχρονα. Στην πραγματικότητα, το αντίστροφο έχει παρατηρηθεί σε μεγάλες ιστορικές περιόδους πριν από το 2001.

Η συμπεριφορά των επενδυτών δεν λαμβάνεται υπόψη σε αυτό το μαθηματικό μοντέλο. Οι φόροι και το κόστος συναλλαγής παραμελούνται, παρόλο που η κλασματική κατανομή κεφαλαίου και η πιθανότητα βραχυπρόθεσμων περιουσιακών στοιχείων υποτίθεται.

Στην πραγματικότητα, καμία από αυτές τις υποθέσεις δεν μπορεί να ισχύει, πράγμα που σημαίνει ότι οι πραγματοποιημένες οικονομικές αποδόσεις μπορεί να διαφέρουν σημαντικά από τα αναμενόμενα κέρδη.

Η κατώτατη γραμμή

Τα μαθηματικά μοντέλα παρέχουν έναν καλό μηχανισμό για να ποσοτικοποιήσουν μερικές μεταβλητές με έναν και μόνο αριθμό trackable. Αλλά λόγω των περιορισμών των υποθέσεων, τα μοντέλα μπορεί να αποτύχουν.

Η συνήθης διανομή, η οποία αποτελεί τη βάση της θεωρίας του χαρτοφυλακίου, μπορεί να μην ισχύει απαραίτητα για τα αποθέματα και τα άλλα πρότυπα τιμών των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων. Η θεωρία του χαρτοφυλακίου έχει πολλές παραδοχές, οι οποίες θα πρέπει να εξεταστούν κριτικά, προτού λάβουμε σημαντικές οικονομικές αποφάσεις.