Εξερεύνηση του εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου όρου

Η μεταβλητότητα είναι το πιο συνηθισμένο μέτρο κινδύνου, αλλά έρχεται σε διάφορες γεύσεις. Σε ένα προηγούμενο άρθρο, παρουσιάσαμε τον τρόπο υπολογισμού της απλής ιστορικής μεταβλητότητας. Σε αυτό το άρθρο, θα βελτιώσουμε την απλή μεταβλητότητα και θα συζητήσουμε τον εκθετικά σταθμισμένο κινητό μέσο όρο (EWMA).

Ιστορική έναντι υπονοούμενης μεταβλητότητας

Πρώτον, ας θέσουμε αυτή τη μέτρηση σε μια μικρή προοπτική. Υπάρχουν δύο γενικές προσεγγίσεις: ιστορική και σιωπηρή (ή έμμεση) μεταβλητότητα. Η ιστορική προσέγγιση υποθέτει ότι το παρελθόν είναι πρόλογος. μετράμε την ιστορία με την ελπίδα ότι είναι προγνωστική. Η υποτιθέμενη μεταβλητότητα, από την άλλη πλευρά, αγνοεί το ιστορικό. λυθεί για τη μεταβλητότητα που προκύπτει από τις τιμές της αγοράς. Ελπίζει ότι η αγορά γνωρίζει καλύτερα και ότι η τιμή της αγοράς περιέχει, έστω και σιωπηρά, μια συναίνεση εκτίμησης της μεταβλητότητας.

Εάν επικεντρωθούμε μόνο στις τρεις ιστορικές προσεγγίσεις (στα αριστερά παραπάνω), έχουν δύο κοινά βήματα:

1. Υπολογίστε τη σειρά των περιοδικών αποδόσεων
2. Εφαρμόστε ένα σχέδιο στάθμισης

Πρώτον, υπολογίζουμε την περιοδική απόδοση. Αυτή είναι συνήθως μια σειρά ημερησίων επιστροφών, όπου κάθε επιστροφή εκφράζεται σε συνεχείς σύνθετους όρους. Για κάθε μέρα, παίρνουμε το φυσικό ημερολόγιο του λόγου των τιμών των μετοχών (δηλαδή, η τιμή σήμερα διαιρείται με την τιμή χθες, και ούτω καθεξής).

ui = lnsisi-1 όπου: ui = απόδοση ημέρας isi = τιμή μετοχής την ημέρα isi-1 = τιμή μετοχής την ημέρα πριν από την ημέρα i \ begin {aligned} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {where:} \\ & u_i = \ text {επιστροφή στην ημέρα} i \\ & s_i = \ text {τιμή μετοχής την ημέρα} i \\ & s_ {i - 1} = \ text { πριν από την ημέρα} i \\ \ end {aligned} ui = lnsi-1 si kde: ui = απόδοση ημέρας isi = τιμή μετοχής την ημέρα isi-1 = τιμή μετοχής την ημέρα πριν από την ημέρα i

Αυτό παράγει μια σειρά καθημερινών αποδόσεων, από το u _i στο u _im, ανάλογα με τον αριθμό των ημερών (m = ημέρες) που μετράμε.

Αυτό μας οδηγεί στο δεύτερο βήμα: Στο σημείο αυτό διαφέρουν οι τρεις προσεγγίσεις. Στο προηγούμενο άρθρο, δείξαμε ότι κάτω από δύο αποδεκτές απλουστεύσεις, η απλή διακύμανση είναι ο μέσος όρος των τετραγωνικών αποδόσεων:

η διαφορά = σn2 = 1mSi = 1mm-12 όπου: m = αριθμός ημερών που μετρήθηκανn = dayiu = διαφορά απόδοσης από τον μέσο όρο επιστροφής \ begin {aligned} & \ text {variance} m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {where:} \\ & m = \ text {αριθμός μετρημένων ημερών} \\ & u = \ text {διαφορά απόδοσης από τη μέση απόδοση} \\ \ end {ευθυγραμμισμένη} διακύμανση = σn2 = m1 Σi = 1m un-12 όπου: m = αριθμός ημερών της επιστροφής από τη μέση απόδοση

Παρατηρήστε ότι αυτό συνθέτει κάθε μία από τις περιοδικές αποδόσεις, τότε διαιρεί αυτό το σύνολο με τον αριθμό των ημερών ή τις παρατηρήσεις (m). Έτσι, είναι πραγματικά μόνο ένας μέσος όρος των τετραγώνων περιοδικών επιστροφών. Με άλλο τρόπο, σε κάθε τετράγωνο επιστροφή δίνεται ένα ίσο βάρος. Αν λοιπόν το alpha (a) είναι ένας συντελεστής στάθμισης (συγκεκριμένα, a = 1 / m), τότε μια απλή διακύμανση φαίνεται κάτι τέτοιο:

Το EWMA βελτιώνεται σε απλές διαφορές
Η αδυναμία αυτής της προσέγγισης είναι ότι όλες οι αποδόσεις κερδίζουν το ίδιο βάρος. Η χθεσινή (πολύ πρόσφατη) επιστροφή δεν έχει άλλη επιρροή στη διακύμανση από την επιστροφή του προηγούμενου μήνα. Το πρόβλημα αυτό καθορίζεται χρησιμοποιώντας τον εκθετικά σταθμισμένο κινητό μέσο όρο (EWMA), στον οποίο οι πιο πρόσφατες αποδόσεις έχουν μεγαλύτερο βάρος στη διακύμανση.

Ο εκθετικά σταθμικός κινούμενος μέσος όρος (EWMA) εισάγει λάμδα, η οποία ονομάζεται παράμετρος εξομάλυνσης. Η λάμδα πρέπει να είναι μικρότερη από μία. Υπό την προϋπόθεση αυτή, αντί για ίσα βάρη, κάθε τετράγωνο κέρδος σταθμίζεται με έναν πολλαπλασιαστή ως εξής:

Για παράδειγμα, η RiskMetrics ^TM _, μια εταιρεία διαχείρισης χρηματοοικονομικού κινδύνου, τείνει να χρησιμοποιεί λάμδα 0, 94 ή 94%. Στην περίπτωση αυτή, η πρώτη (πιο πρόσφατη) τετράγωνη περιοδική επιστροφή σταθμίζεται με (1-0.94) (. 94) ⁰ = 6%. Η επόμενη τετράγωνη επιστροφή είναι απλά ένα λάμδα-πολλαπλάσιο του προηγούμενου βάρους. στην περίπτωση αυτή το 6% πολλαπλασιάστηκε κατά 94% = 5, 64%. Και το βάρος της τρίτης προηγούμενης ημέρας είναι ίσο (1-0.94) (0.94) ² = 5.30%.

Αυτή είναι η έννοια του "εκθετικού" στο EWMA: κάθε βάρος είναι ένας σταθερός πολλαπλασιαστής (δηλαδή λάμδα, που πρέπει να είναι μικρότερος από ένα) του βάρους της προηγούμενης ημέρας. Αυτό εξασφαλίζει μια διακύμανση που είναι σταθμισμένη ή μεροληπτική προς πιο πρόσφατα δεδομένα. Η διαφορά μεταξύ της απλής μεταβλητότητας και του EWMA για το Google εμφανίζεται παρακάτω.

Η απλή μεταβλητότητα ζυγίζει αποτελεσματικά κάθε μία περιοδική απόδοση κατά 0, 196%, όπως φαίνεται στην στήλη O (είχαμε δύο χρόνια ημερήσιας τιμής των μετοχών, δηλαδή 509 ημερήσιες αποδόσεις και 1/509 = 0, 196%). Αλλά παρατηρήστε ότι η Στήλη P αποδίδει βάρος 6%, στη συνέχεια 5, 64%, στη συνέχεια 5, 3% κ.ο.κ. Αυτή είναι η μόνη διαφορά μεταξύ της απλής διακύμανσης και του EWMA.

Θυμηθείτε: αφού αθροίσουμε ολόκληρη τη σειρά (στη στήλη Q) έχουμε τη διακύμανση, η οποία είναι το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης. Αν θέλουμε μεταβλητότητα, πρέπει να θυμόμαστε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα αυτής της διακύμανσης.

Ποια είναι η διαφορά στην καθημερινή μεταβλητότητα μεταξύ της διακύμανσης και του EWMA στην περίπτωση της Google ">

Η σημερινή παρέκκλιση είναι μια λειτουργία της απόκλισης της προηγούμενης ημέρας

Θα παρατηρήσετε ότι έπρεπε να υπολογίσουμε μια μεγάλη σειρά εκθετικά μειούμενων βαρών. Δεν θα κάνουμε τα μαθηματικά εδώ, αλλά ένα από τα καλύτερα χαρακτηριστικά του EWMA είναι ότι ολόκληρη η σειρά μειώνεται βολικά σε μια αναδρομική φόρμουλα:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1-λ) un-12 όπου: λ = ο βαθμός μείωσης weightψ2 = τιμή σε χρονική περίοδο nu2 = = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {where:} \ \ n \\ & u ^ 2 = \ text {τιμή EWMA σε χρονική περίοδο} n \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} σn2 (ewma) = λσn2 + (1-λ) un-12 όπου: λ = ο βαθμός μείωσης weightσ2 = η τιμή στην χρονική περίοδο nu2 = η τιμή του EWMA στην χρονική περίοδο n

Αναδρομική σημαίνει ότι οι σημερινές αναφορές διακύμανσης (δηλαδή είναι συνάρτηση της διακύμανσης της προηγούμενης ημέρας). Μπορείτε να βρείτε αυτόν τον τύπο στο υπολογιστικό φύλλο επίσης, και παράγει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με τον υπολογισμό longhand! Λέει: η σημερινή διακύμανση (βάσει του EWMA) ισούται με τη χθεσινή διακύμανση (σταθμισμένη από το λάμβδα) συν την τετραγωνική απόδοση χθες (ζυγίζεται με ένα μείον λάμδα). Παρατηρήστε πώς προσθέτουμε μόνο δύο όρους: τη ζυγισμένη χθεσινή διακύμανση και την τετραγωνική απόδοση της τετραετίας.

Ακόμα κι έτσι, το lambda είναι η εξομαλυντική μας παράμετρος. Ένα υψηλότερο λάμδα (π.χ., όπως το 94% του RiskMetric) υποδεικνύει βραδύτερη αποσύνθεση στη σειρά - σε σχετικούς όρους, πρόκειται να έχουμε περισσότερα δεδομένα στη σειρά και πρόκειται να «πέσουν» πιο αργά. Από την άλλη πλευρά, εάν μειώσουμε το λάμβδα, υποδεικνύουμε υψηλότερη αποσύνθεση: τα βάρη πέφτουν πιο γρήγορα και, ως άμεσο αποτέλεσμα της ταχείας αποσύνθεσης, χρησιμοποιούνται λιγότερα σημεία δεδομένων. (Στο υπολογιστικό φύλλο, το lambda είναι μια είσοδος, ώστε να μπορείτε να πειραματιστείτε με την ευαισθησία του).

Περίληψη
Η μεταβλητότητα είναι η στιγμιαία τυπική απόκλιση ενός αποθέματος και η πιο κοινή μετρική κινδύνου. Είναι επίσης η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Μπορούμε να μετρήσουμε τη διακύμανση ιστορικά ή έμμεσα (τεκμαρτή μεταβλητότητα). Όταν μετρώνται ιστορικά, η ευκολότερη μέθοδος είναι απλή διακύμανση. Αλλά η αδυναμία με απλή διακύμανση είναι ότι όλες οι επιστροφές παίρνουν το ίδιο βάρος. Έτσι, αντιμετωπίζουμε ένα κλασικό εμπόδιο: πάντα θέλουμε περισσότερα δεδομένα, αλλά όσο περισσότερα δεδομένα έχουμε, τόσο περισσότερο ο υπολογισμός μας αραιώνεται από μακρινά (λιγότερο σχετικά) δεδομένα. Ο εκθετικά σταθμισμένος κινούμενος μέσος όρος (EWMA) βελτιώνεται με την απλή διακύμανση, αναθέτοντας βάρη στις περιοδικές αποδόσεις. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε και τα δύο να χρησιμοποιήσουμε ένα μεγάλο μέγεθος δείγματος αλλά και να δώσουμε μεγαλύτερη βαρύτητα στις πιο πρόσφατες αποδόσεις.