Συνεχές σύνθετο ενδιαφέρον

Οι σύνθετοι τόκοι είναι οι τόκοι που υπολογίζονται επί του αρχικού κεφαλαίου καθώς και επί των συσσωρευμένων τόκων προηγούμενων περιόδων κατάθεσης ή δανείου. Η επίδραση του σύνθετου ενδιαφέροντος εξαρτάται από τη συχνότητα.

Υποθέστε ετήσιο επιτόκιο 12%. Εάν ξεκινήσουμε το έτος με $ 100 και σύνθετα μόνο μια φορά, στο τέλος του έτους, ο κύριος θα αυξηθεί στα $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Αν αντίθετα συνθέσουμε κάθε μήνα στο 1%, καταλήγουμε με περισσότερα από $ 112 στο τέλος του έτους. Δηλαδή, $ 100 x 1, 01 ^ 12 σε $ 112, 68. (Είναι υψηλότερο επειδή συναθροίσαμε πιο συχνά).

Οι συνεχείς σύνθετες αποδόσεις συνθέτουν το πιο συχνά από όλα. Η συνεχής ανάμιξη είναι το μαθηματικό όριο που μπορεί να φτάσει το σύνθετο ενδιαφέρον. Πρόκειται για μια ακραία περίπτωση σύνθεσης, δεδομένου ότι το μεγαλύτερο μέρος των επιτοκίων αυξάνεται σε μηνιαία, τριμηνιαία ή εξαμηνιαία βάση.

Εξαμηνιαία Ποσοστά Απόδοσης

Πρώτον, ας ρίξουμε μια ματιά σε μια δυσοίωνη σύμβαση. Στην αγορά ομολόγων, αναφέρουμε μια ισοδύναμη απόδοση ομολόγων (ή ισοδύναμη βάση ομολόγων). Αυτό σημαίνει ότι εάν ένα ομόλογο αποφέρει 6% σε εξαμηνιαία βάση, η ισοδύναμη απόδοση ομολόγων του είναι 12%.

Φιγούρα 1

Η εξαμηνιαία απόδοση απλά διπλασιάζεται. Αυτό είναι δυνητικά σύγχυση, επειδή η αποτελεσματική απόδοση ενός δεσμού αποδόσεως 12% ισοδύναμου ομολόγου είναι 12, 36% (δηλ. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Ο διπλασιασμός της εξαμηνιαίας απόδοσης είναι απλώς μια σύμβαση ονομασίας ομολόγων. Επομένως, αν διαβάσουμε για ένα ομολόγων 8% που συνθέτουν εξαμηνιαία, υποθέτουμε ότι αυτό αναφέρεται σε 4% εξαμηνιαία απόδοση.

Τριμηνιαία, μηνιαία και ημερήσια ποσοστά απόδοσης

Τώρα, ας συζητήσουμε υψηλότερες συχνότητες. Παίρνουμε ακόμα ένα ετήσιο επιτόκιο αγοράς 12%. Σύμφωνα με τις συμβάσεις ονοματοδοσίας ομολόγων, αυτό συνεπάγεται ένα 6% εξαμηνιαίο σύνθετο επιτόκιο. Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε το τριμηνιαίο σύνθετο επιτόκιο ως συνάρτηση του επιτοκίου της αγοράς.

Σχήμα 2

Με βάση τον ετήσιο ρυθμό αγοράς ( r), ο τριμηνιαίος συντελεστής σύνθεσης ( r _q ) δίνεται από:

Έτσι, για παράδειγμα, όπου το ετήσιο επιτόκιο της αγοράς είναι 12%, το τριμηνιαίο σύνθετο επιτόκιο είναι 11.825%:

Σχήμα 3

Μια παρόμοια λογική ισχύει και για την μηνιαία ανάμιξη. Το μηνιαίο συντελεστή σύνθεσης ( r _m ) δίνεται εδώ ως συνάρτηση του ετήσιου επιτοκίου αγοράς ( r):

Η ημερήσια σύνθετη ισοτιμία ( δ) ως συνάρτηση του επιτοκίου της αγοράς ( r) δίνεται από:

Πώς λειτουργεί η Συνεχής Επεξεργασία

Σχήμα 4

Αν αυξήσουμε τη σύνθετη συχνότητα στο όριό της, συναθροζόμαστε συνεχώς. Παρόλο που αυτό μπορεί να μην είναι πρακτικό, το συνεχώς αυξανόμενο επιτόκιο προσφέρει εξαιρετικά βολικές ιδιότητες. Αποδεικνύεται ότι το συνεχώς αυξανόμενο επιτόκιο δίνεται από:

Το Ln () είναι το φυσικό ημερολόγιο και στο παράδειγμά μας, ο συνεχής συντελεστής είναι συνεπώς:

Θα φτάσουμε στον ίδιο τόπο λαμβάνοντας το φυσικό ημερολόγιο αυτού του λόγου: η τελική τιμή διαιρείται με την αρχική τιμή.

Το τελευταίο είναι κοινό όταν υπολογίζεται η συνεχώς ανεπτυγμένη απόδοση για ένα απόθεμα. Για παράδειγμα, εάν το απόθεμα πέσει από 10 δολάρια την ημέρα σε 11 δολάρια την επόμενη μέρα, η συνεχώς αυξανόμενη ημερήσια απόδοση δίνεται από:

Τι είναι τόσο μεγάλη για τον συνεχώς συντεταγμένο ρυθμό (ή επιστροφή) που θα υποδείξουμε με r _c ">>

Σημειώστε ότι e είναι η εκθετική συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν ξεκινήσουμε με $ 100 και συνεχώς συνθέτουν το 8% σε διάστημα τριών ετών, ο τελικός πλούτος δίνεται από:

Η έκπτωση στην παρούσα τιμή (PV) απλώς αναμειγνύεται αντίστροφα, έτσι ώστε η παρούσα τιμή μίας μελλοντικής τιμής (F) που συνδυάζεται συνεχώς με ρυθμό ( rc) δίνεται από:

Για παράδειγμα, εάν πρόκειται να λάβετε $ 100 σε τρία χρόνια με σταθερό ρυθμό 6%, η παρούσα αξία του δίνεται από:

Κλιμάκωση σε πολλές περιόδους

Η κατάλληλη ιδιότητα των συνεχώς ανεπτυγμένων επιστροφών είναι ότι κλιμακώνεται σε πολλαπλές περιόδους. Εάν η απόδοση για την πρώτη περίοδο είναι 4% και η απόδοση για τη δεύτερη περίοδο είναι 3%, τότε η απόδοση των δύο περιόδων είναι 7%. Σκεφτείτε να ξεκινήσουμε το έτος με $ 100, το οποίο φτάνει στα $ 120 στο τέλος του πρώτου έτους, στη συνέχεια $ 150 στο τέλος του δεύτερου έτους. Οι συνεχείς ενοποιημένες αποδόσεις είναι, αντίστοιχα, 18, 23% και 22, 31%.

Αν προσθέσουμε απλά αυτά τα στοιχεία, έχουμε 40, 55%. Αυτή είναι η απόδοση δύο περιόδων:

Από τεχνική άποψη, η συνεχής επιστροφή είναι συνεπής. Η χρονική συνέπεια είναι μια τεχνική απαίτηση για την αξία σε κίνδυνο (VAR). Αυτό σημαίνει ότι εάν μια επιστροφή μιας περιόδου είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή, θέλουμε οι τυχαίες μεταβλητές πολλαπλών περιόδων να κατανέμονται κανονικά επίσης. Επιπλέον, η πολλαπλάσια συνεχώς ανεπτυγμένη απόδοση είναι κανονικά κατανεμημένη (σε αντίθεση με, ας πούμε, μια απλή ποσοστιαία απόδοση).

Η κατώτατη γραμμή

Μπορούμε να αναδιατυπώσουμε τα ετήσια επιτόκια σε επιτόκια (ή σε ποσοστά απόδοσης) σε εξαμηνιαία, τριμηνιαία, μηνιαία ή ημερήσια βάση. Η πιο συνηθισμένη σύνθεση είναι η συνεχής ανάμειξη, η οποία απαιτεί τη χρήση φυσικού λογαριθμίου και εκθετικής συνάρτησης, η οποία χρησιμοποιείται συνήθως στη χρηματοδότηση λόγω των επιθυμητών ιδιοτήτων της - κλιμακώνεται εύκολα σε πολλαπλές περιόδους και είναι συνεπής.