Υπολογισμός της παρούσας και της μελλοντικής αξίας των προσόδων

Σε κάποιο σημείο της ζωής σας ίσως χρειαστεί να κάνετε μια σειρά σταθερών πληρωμών για ένα χρονικό διάστημα - όπως το μίσθωμα ή πληρωμές αυτοκινήτων - ή έχετε λάβει μια σειρά πληρωμών για ένα χρονικό διάστημα, όπως οι τόκοι από ομόλογα ή CDs. Αυτές ονομάζονται προσόδους (μια πιο γενική χρήση της λέξης - δεν πρέπει να συγχέεται με το συγκεκριμένο χρηματοπιστωτικό προϊόν που ονομάζεται προσόδου, αν και οι δύο σχετίζονται). Αν καταλαβαίνετε την χρονική αξία του χρήματος, είστε έτοιμοι να μάθετε για τις προσόδους και πώς υπολογίζονται οι τρέχουσες και μελλοντικές αξίες τους.

Τι είναι οι προσόδους;

Οι προσόδους είναι ουσιαστικά μια σειρά από σταθερές πληρωμές που απαιτούνται από εσάς ή σας καταβάλλονται σε συγκεκριμένη συχνότητα κατά τη διάρκεια μιας καθορισμένης χρονικής περιόδου. Οι συχνότητες πληρωμών μπορούν να είναι ετήσιες, εξαμηνιαίες (δύο φορές το χρόνο), τριμηνιαίες και μηνιαίες. Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι προσόδων: οι κανονικές προσόδους και οι προσόδους που οφείλονται.

• Τακτικές προσόδους: Απαιτούνται πληρωμές στο τέλος κάθε περιόδου. Για παράδειγμα, τα ευθεία ομόλογα συνήθως πραγματοποιούν πληρωμές τοκομεριδίων στο τέλος κάθε εξαμήνου μέχρι την ημερομηνία λήξης του ομολόγου.
• Προβλεπόμενη πρόσοδος: Απαιτούνται πληρωμές στην αρχή κάθε περιόδου. Το μίσθωμα είναι ένα παράδειγμα μιας οφειλόμενης πρόβλεψης. Απαιτείται συνήθως να πληρώνετε ενοίκιο όταν αρχίσετε να μετακινείτε στην αρχή του μήνα και, στη συνέχεια, το πρώτο κάθε μήνα που ακολουθεί.

Δεδομένου ότι οι σημερινοί και μελλοντικοί υπολογισμοί αξίας για τις συνήθεις προσόδους και ετήσιες προσόδους είναι ελαφρώς διαφορετικοί, θα τις συζητήσουμε ξεχωριστά.

Συνήθεις προσόδους

Υπολογισμός της μελλοντικής τιμής

Αν γνωρίζετε πόσα μπορείτε να επενδύσετε ανά περίοδο για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο, η μελλοντική αξία (FV) μιας συνηθισμένης συνταγής προσόδου είναι χρήσιμη για να μάθετε πόσα θα είχατε στο μέλλον. Εάν κάνετε πληρωμές σε δάνειο, η μελλοντική αξία είναι χρήσιμη για τον προσδιορισμό του συνολικού κόστους του δανείου. Αν γνωρίζετε πόσο προγραμματίζετε να επενδύετε κάθε χρόνο και το σταθερό επιτόκιο της εγγύησης σας, ή αν για τα δάνεια το ποσό των πληρωμών σας και το συγκεκριμένο επιτόκιο μπορείτε εύκολα να καθορίσετε την αξία του λογαριασμού σας σε οποιοδήποτε σημείο της το μέλλον.

Ας δούμε τώρα το παράδειγμα 1. Εξετάστε το ακόλουθο πρόγραμμα ταμειακών ροών:

Για να υπολογίσουμε τη μελλοντική αξία της προσόδου, πρέπει να υπολογίσουμε τη μελλοντική αξία κάθε ταμειακής ροής. Ας υποθέσουμε ότι λαμβάνετε 1.000 δολάρια ετησίως για τα επόμενα πέντε χρόνια και επενδύετε κάθε πληρωμή σε τόκο 5%. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει πόσα θα είχατε στο τέλος της πενταετούς περιόδου:

Δεδομένου ότι πρέπει να προσθέσουμε τη μελλοντική αξία κάθε πληρωμής, ίσως έχετε παρατηρήσει ότι εάν έχετε μια συνηθισμένη προσφορά με πολλές ταμειακές ροές, θα χρειαστεί πολύς χρόνος για να υπολογίσετε όλες τις μελλοντικές αξίες και στη συνέχεια να τις προσθέσετε μαζί. Ευτυχώς, τα μαθηματικά παρέχουν έναν τύπο που χρησιμεύει ως συντόμευση για την εύρεση της συσσωρευμένης αξίας όλων των ταμειακών ροών που λαμβάνονται από μια συνηθισμένη προσόδου:

FVOrrndary Annuity = C × [(1 + i) n-1i] όπου: C = Ταμειακή ροή ανά περίοδο = Τόκιο επιτοκίου = Αριθμός πληρωμών \ begin {aligned} & text {FV} }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ text {Ταμειακή ροή ανά περίοδο} \\ & i = \ text {Επιτόκιο} \\ & n = \ text {Αριθμός πληρωμών} \\ \ end {aligned} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n-1] όπου: C = Ταμειακή ροή ανά περίοδο = Επιτόκιο επιτοκίου = Αριθμός πληρωμών

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για το Παράδειγμα 1 παραπάνω, αυτό είναι το αποτέλεσμα:

FVoyrary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0.05) 5-10.05] = $ 1000 × [5.53] \ begin {ευθυγραμμισμένο} \ text {FV} _ {\ Ordinary ~ Annuity}} [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5, 53]

Υπολογισμός της τρέχουσας τιμής

Σημειώστε ότι η διαφορά ενός σεντ μεταξύ $ 5.525.64 και $ 5.525.63 οφείλεται σε σφάλμα στρογγυλοποίησης κατά τον πρώτο υπολογισμό. Κάθε τιμή του πρώτου υπολογισμού πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στην πλησιέστερη πένα - όσο περισσότερο θα πρέπει να στρογγυλοποιήσετε αριθμούς σε έναν υπολογισμό, τόσο πιθανότερο θα είναι τα σφάλματα στρογγυλοποίησης. Έτσι, ο ανωτέρω τύπος όχι μόνο παρέχει μια συντόμευση για την εύρεση της FV μιας συνηθισμένης προσόδου, αλλά και δίνει ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα.

Η παρούσα αξία μιας προσόδου είναι απλώς η τρέχουσα αξία όλων των εισοδημάτων που παράγονται από τη συγκεκριμένη επένδυση στο μέλλον. Αυτός ο υπολογισμός βασίζεται στην έννοια της χρονικής αξίας του χρήματος, που δηλώνει ότι ένα δολάριο αξίζει τώρα περισσότερο από ένα δολάριο που κερδίζεται στο μέλλον. Εξαιτίας αυτού, οι υπολογισμοί της παρούσας αξίας χρησιμοποιούν τον αριθμό των χρονικών περιόδων κατά τις οποίες δημιουργείται το εισόδημα για την έκπτωση της αξίας των μελλοντικών πληρωμών.

Εάν θέλετε να προσδιορίσετε τη σημερινή αξία μιας μελλοντικής σειράς πληρωμών, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία (PV) μιας συνηθισμένης προσόδου. Αυτός είναι ο τύπος που χρησιμοποιείτε ως μέρος του υπολογισμού των τιμών ομολόγων. Το PV μιας συνήθους προσόδου υπολογίζει την παρούσα αξία των πληρωμών τοκομεριδίων που θα λάβετε στο μέλλον.

Για το παράδειγμα 2, θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο πρόγραμμα ταμειακών ροών με την πρόσοδο που κάναμε στο Παράδειγμα 1. Για να λάβουμε τη συνολική αξία, πρέπει να πάρουμε την παρούσα αξία κάθε μελλοντικής πληρωμής και, όπως κάναμε στο Παράδειγμα 1, προσθέτουμε ταμιακές ροές μαζί.

Και πάλι, ο υπολογισμός και η προσθήκη όλων αυτών των αξιών θα διαρκέσει πολύ χρόνο, ειδικά εάν αναμένουμε πολλές μελλοντικές πληρωμές. Αν και πολλοί ηλεκτρονικοί υπολογιστές μπορούν να καθορίσουν την παρούσα αξία μιας προσόδου, ο τύπος για μια κανονική πρόσοδος δεν είναι υπερβολικά περίπλοκος για να υπολογίσετε με το χέρι, εάν χρησιμοποιήσουμε μια μαθηματική συντόμευση για Φ / Β μιας συνήθους προσόδου.

PVOrdinary Annuity = C × [1- (1 + i) -ni] \ text {PV} _ {\ text {Συνήθη ~ Annuity}} = + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrndary Annuity = C × [i1- (1 + i) -n]

Ο τύπος μας παρέχει τη φωτοβολταϊκή ενέργεια σε μερικά απλά βήματα. Εδώ είναι ο υπολογισμός της προσόδου που αντιπροσωπεύεται στο διάγραμμα για το Παράδειγμα 2:

Εναλλακτικά, ο αριθμός των εγγραφών θα είναι μικρότερος από τον αριθμό των εγγραφών που αντιστοιχούν στο ποσό που αντιστοιχεί στο ποσό που αντιστοιχεί στη διαφορά. Μεγάλη [\ dfrac {1- {1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Big \\ & = \ $ 1000 \ times [4.33] \\ & = $ 1000 × [0, 051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4, 33]

Υπολογισμός της μελλοντικής τιμής

Όταν λαμβάνετε ή πληρώνετε ταμιακές ροές για μια ληξιπρόθεσμη πρόσοδο, το ταμειακό σας πρόγραμμα θα εμφανιστεί ως εξής:

Δεδομένου ότι κάθε πληρωμή στη σειρά γίνεται μια περίοδος νωρίτερα, πρέπει να εκπτώσουμε τη φόρμουλα μια περίοδο πίσω. Μία μικρή τροποποίηση του τύπου FV της συνηθισμένης πρόσοδος αντιστοιχεί στις πληρωμές που πραγματοποιούνται στην αρχή κάθε περιόδου. Στο παράδειγμα 3, ας δείξουμε γιατί αυτή η τροποποίηση είναι απαραίτητη όταν κάθε πληρωμή $ 1.000 γίνεται στην αρχή της περιόδου και όχι στο τέλος (το επιτόκιο εξακολουθεί να είναι 5%):

Παρατηρήστε ότι όταν οι πληρωμές γίνονται στην αρχή της περιόδου, κάθε ποσό κρατείται περισσότερο στο τέλος της περιόδου. Για παράδειγμα, εάν τα 1.000 δολάρια επενδύθηκαν την 1η Ιανουαρίου αντί για τις 31 Δεκεμβρίου κάθε έτους, η τελευταία πληρωμή πριν από την αξία της επένδυσής μας στο τέλος των πέντε ετών (στις 31 Δεκεμβρίου) θα είχε πραγματοποιηθεί ένα έτος πριν (1η Ιανουαρίου) την ίδια ημέρα κατά την οποία αποτιμάται. Η μελλοντική αξία της πρόβλεψης της πρόβλεψης θα διαβάσει τότε:

(1 + i) n-1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = (1 + i) n-1] x (1 + i) = (1 + i)

Επομένως,

Η συνάρτηση FVAnnuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5-10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begin {aligned} [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ " (1 + 0, 05) 5-1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Διάρκεια οφειλής

Υπολογισμός της τρέχουσας τιμής

Για την παρούσα αξία μιας πρόβλεψης με ετήσιο επιτόκιο, πρέπει να εκπτώσουμε τη φόρμουλα μία προθεσμία προς τα εμπρός, καθώς οι πληρωμές κρατούνται για μικρότερο χρονικό διάστημα. Κατά τον υπολογισμό της παρούσας αξίας, υποθέτουμε ότι η πρώτη πληρωμή έγινε σήμερα.

Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσουμε την παρούσα αξία των μελλοντικών σας πληρωμών ενοικίου όπως καθορίζεται σε μια μίσθωση που υπογράφετε με τον ιδιοκτήτη σας. Ας υποθέσουμε ότι κάνετε την πρώτη σας πληρωμή ενοικίου (βλ. Παράδειγμα 4, παρακάτω) στην αρχή του μήνα και αξιολογείτε την παρούσα αξία της μίσθωσης πέντε μηνών την ίδια ημέρα. Ο υπολογισμός της τρέχουσας αξίας θα λειτουργήσει ως εξής:

Φυσικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια συντόμευση τύπου για να υπολογίσουμε την παρούσα αξία μιας οφειλόμενης προσόδου:

PVAnnuity Due = C × [1 - (1 + i) -ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = (1 + i) -n] × (1 + i) = (1 + i)

Επομένως,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1- (1 + 0.05) -50.05] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 4.33 × 1.05 \ begin {aligned} PV _ {\ text Annuity Due}} \ left {\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 4545.95 \ end {ευθυγραμμισμένο} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1- (1 + 0, 05) -5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4.33 × 1.05

Υπενθυμίζουμε ότι η παρούσα αξία μιας συνηθισμένης προσόδου επέστρεψε αξία $ 4.329, 48. Η παρούσα αξία μιας συνηθισμένης προσόδου είναι μικρότερη από αυτή της πρόβλεψης που οφείλεται στο γεγονός ότι η περαιτέρω έκπτωση απορρίπτουμε μια μελλοντική πληρωμή, όσο χαμηλότερη είναι η παρούσα αξία της - κάθε πληρωμή ή ταμειακή ροή σε μια συνηθισμένη προσόδου εμφανίζεται μία περαιτέρω περίοδο στο μέλλον.

Η χρονική αξία των χρημάτων

Ο υπολογισμός της μελλοντικής αξίας βασίζεται στην έννοια της χρονικής αξίας του χρήματος. Αυτό σημαίνει απλώς ότι ένα δολάριο που κέρδισε σήμερα αξίζει περισσότερο από ένα δολάριο που κερδίζεται αύριο επειδή τα κεφάλαια που ελέγχετε τώρα μπορούν να επενδυθούν και να κερδίσουν ενδιαφέρον με την πάροδο του χρόνου. Ως εκ τούτου, η μελλοντική αξία μιας προσόδου είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα όλων των επενδύσεών σας, επειδή αυτές οι εισφορές κερδίζουν τόκους με την πάροδο του χρόνου. Για παράδειγμα, η μελλοντική αξία των 1.000 δολαρίων που επενδύθηκαν σήμερα με επιτόκιο 10% είναι 1.100 δολάρια ετησίως. Ένα ενιαίο δολάριο σήμερα αξίζει 1, 10 δολάρια το χρόνο λόγω της χρονικής αξίας του χρήματος.

Υποθέστε ότι πραγματοποιείτε ετήσιες πληρωμές ύψους 5.000 δολαρίων στη συνήθη πρόσοδό σας για 15 χρόνια. Κέρδισε 9% επιτόκιο, αυξάνονται ετησίως.

FV = $ 5.000 × {(((1 + 0.09) 15) -1) ÷ 0.09} = 5.000 $ × {(1.0915) -1) ÷ 0.09} = 5.000 × 2.642 ÷ 0.09 \ $ 5, 000 \ Times \ {((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & }} \\ & = \ $ 5, 000 \ φορές 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5.000 \ φορές \ $ 146.804.58 \ end {ευθυγραμμισμένο} FV = $ 5.000 × {((1 + 0.09) 15) -1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × {((1.0915) -1) ÷ 0.09} = 5.000 × 2.642 ÷ 0.09

Χωρίς τη δύναμη της συγκέντρωσης ενδιαφέροντος, η σειρά των $ 5.000 συνεισφορών σας αξίζει μόνο 75.000 δολάρια στο τέλος των 15 ετών. Αντ 'αυτού, με σύνθετο ενδιαφέρον, η μελλοντική αξία της προσόδου σας είναι σχεδόν διπλάσια από τα 146.804, 58 δολάρια.

Για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας μιας οφειλόμενης πρόβλεψης, απλά πολλαπλασιάστε τη συνήθη μελλοντική αξία κατά 1 + i (το επιτόκιο). Στο παραπάνω παράδειγμα, η μελλοντική αξία μιας προσόδου που οφείλεται με τις ίδιες παραμέτρους είναι απλώς $ 146.804.58 x (1 + 0.09) ή $ 160.016.99.

Παρούσα αξία

Κατά τον υπολογισμό της παρούσας αξίας μιας προσόδου, είναι σημαντικό όλες οι μεταβλητές να είναι συνεπείς. Εάν η ετήσια αποζημίωση παράγει ετήσιες πληρωμές, για παράδειγμα, το επιτόκιο πρέπει επίσης να εκφράζεται ως ετήσιο επιτόκιο. Εάν η πρόσοδος δημιουργεί μηνιαίες πληρωμές, για παράδειγμα, το επιτόκιο πρέπει επίσης να εκφράζεται ως μηνιαίο επιτόκιο.

Υποθέστε ότι μια προσόδου έχει επιτόκιο 10% που δημιουργεί ετήσιες πληρωμές ύψους 3.000 δολαρίων για τα επόμενα 15 χρόνια. Η παρούσα αξία αυτής της προσόδου είναι:

= 3.000 × (((1- (1 + 0.1) -15)) ÷ 0.1) = 3.000 × ((1-.239392) ÷ 0.1) = 3.000 × (0.760608 ÷ 0.1) = 3.000 × 7.60608 \ }} = = $ 3.000 \ times (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ " = $ 3.000 \ φορές (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ φορές 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ end {ευθυγραμμισμένο} = $ 3.000 × ((1- (1 + 0.1) -15) 0.1) = $ 3.000 × ((1-.239392) ÷ 0.1) = $ 3.000 × (0.760608 ÷ 0.1) = 3.000 × 7.60608

Παρούσα αξία μιας προσόδου

Η κατώτατη γραμμή

Τώρα μπορείτε να δείτε πώς οι προσόδους επηρεάζουν τον τρόπο υπολογισμού της παρούσας και της μελλοντικής αξίας οποιουδήποτε ποσού χρημάτων. Θυμηθείτε ότι οι συχνότητες πληρωμών ή ο αριθμός των πληρωμών και ο χρόνος κατά τον οποίο πραγματοποιούνται αυτές οι πληρωμές (είτε στην αρχή είτε στο τέλος κάθε περιόδου πληρωμής) είναι όλες οι μεταβλητές που πρέπει να υπολογίζετε στους υπολογισμούς σας.

Κατά τον προγραμματισμό της συνταξιοδότησης, είναι σημαντικό να έχετε μια καλή ιδέα για το πόσα εισοδήματα μπορείτε να βασίζεστε κάθε χρόνο. Παρόλο που μπορεί να είναι σχετικά εύκολο να παρακολουθείτε πόσο βάζετε σε προγράμματα συνταξιοδότησης που χρηματοδοτούνται από εργοδότες, μεμονωμένους λογαριασμούς συνταξιοδότησης (IRA) και προσόδους, δεν είναι πάντα τόσο εύκολο να γνωρίζετε πόσο θα βγείτε. Ευτυχώς, όσον αφορά τις προσόδους σταθερού επιτοκίου ή τα σχέδια που επενδύονται σε τίτλους σταθερού επιτοκίου, υπάρχει ένας απλός τρόπος υπολογισμού των ποσών που μπορείτε να αναμένετε να έχετε στη διάθεσή σας μετά τη συνταξιοδότησή σας, ανάλογα με το ποσό που εισάγετε στο λογαριασμό κατά τα έτη εργασίας σας .