Οι χρήσεις και τα όρια της μεταβλητότητας

Οι επενδυτές επιθυμούν να επικεντρωθούν στην υπόσχεση των υψηλών αποδόσεων, αλλά πρέπει επίσης να ρωτήσουν τον κίνδυνο που πρέπει να αναλάβουν έναντι αυτών των επιστροφών. Παρόλο που συχνά μιλάμε για κίνδυνο με μια γενική έννοια, υπάρχουν επίσης επίσημες εκφράσεις της σχέσης ανταμοιβής κινδύνου. Για παράδειγμα, ο δείκτης Sharpe μετρά την υπερβάλλουσα απόδοση ανά μονάδα κινδύνου, όπου ο κίνδυνος υπολογίζεται ως μεταβλητότητα, ένα παραδοσιακό και δημοφιλές μέτρο κινδύνου. Οι στατιστικές του ιδιότητες είναι γνωστές και τροφοδοτούνται σε διάφορα πλαίσια, όπως η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίων και το μοντέλο Black-Scholes. Σε αυτό το άρθρο εξετάζουμε την αστάθεια προκειμένου να κατανοήσουμε τις χρήσεις και τα όριά της.

Ετήσια τυπική απόκλιση
Σε αντίθεση με την τεκμαρτή μεταβλητότητα - η οποία ανήκει στη θεωρία τιμολόγησης δικαιωμάτων προαίρεσης και είναι μια εκτίμηση μελλοντικών εκτιμήσεων βασισμένη σε συναίνεση της αγοράς - η τακτική μεταβλητότητα φαίνεται πίσω. Συγκεκριμένα, είναι η ετήσια τυπική απόκλιση των ιστορικών αποδόσεων.

Τα παραδοσιακά πλαίσια κινδύνου που βασίζονται στην τυπική απόκλιση γενικά υποθέτουν ότι οι αποδόσεις συμφωνούν με μια κανονική διανομή σχήματος καμπάνας. Οι κανονικές κατανομές μας δίνουν χρήσιμες οδηγίες: περίπου τα δύο τρίτα του χρόνου (68, 3%), οι αποδόσεις πρέπει να εμπίπτουν σε μία τυπική απόκλιση (+/-). και το 95% του χρόνου, οι αποδόσεις πρέπει να εμπίπτουν σε δύο τυπικές αποκλίσεις. Δύο ιδιότητες ενός κανονικού διαγράμματος κατανομής είναι κοκαλές "ουρές" και τέλεια συμμετρία. Οι κοκαλιάρικες ουρές υποδηλώνουν πολύ χαμηλή εμφάνιση (περίπου 0, 3% του χρόνου) των αποδόσεων που είναι περισσότερες από τρεις τυπικές αποκλίσεις μακριά από το μέσο όρο. Η συμμετρία υποδηλώνει ότι η συχνότητα και το μέγεθος των ανοδικών κερδών είναι μια καθρέπτης εικόνα των μειωμένων ζημιών.

SEE: Η επίπτωση της μεταβλητότητας στις αποδόσεις της αγοράς

Κατά συνέπεια, τα παραδοσιακά μοντέλα αντιμετωπίζουν όλη την αβεβαιότητα ως κίνδυνο, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση. Όπως έχουν δείξει πολλοί άνθρωποι, αυτό είναι ένα πρόβλημα εάν οι αποδόσεις δεν είναι συμμετρικές - οι επενδυτές ανησυχούν για τις απώλειές τους "στα αριστερά" του μέσου όρου, αλλά δεν ανησυχούν για τα κέρδη στα δεξιά του μέσου όρου.

Εξηγούμε αυτό το παράξενο παρακάτω με δύο φανταστικά αποθέματα. Το απόθεμα πτώσης (μπλε γραμμή) είναι εντελώς χωρίς διασπορά και κατά συνέπεια παράγει μηδενική μεταβλητότητα, αλλά το αυξανόμενο απόθεμα - επειδή παρουσιάζει αρκετούς ανοδικούς κραδασμούς αλλά όχι μία σταγόνα - παράγει μια μεταβλητότητα (τυπική απόκλιση) 10%.

Θεωρητικές ιδιότητες
Για παράδειγμα, όταν υπολογίζουμε τη μεταβλητότητα για τον δείκτη S & P 500 από τις 31 Ιανουαρίου 2004, φτάνουμε από 14, 7% σε 21, 1%. Γιατί μια τέτοια σειρά ">

Παρατηρήστε ότι η μεταβλητότητα αυξάνεται καθώς το διάστημα αυξάνεται, αλλά όχι σχεδόν αναλογικά: η εβδομαδιαία δεν είναι σχεδόν πενταπλάσια της ημερήσιας ποσότητας και μηνιαίως δεν είναι σχεδόν τέσσερις φορές την εβδομαδιαία. Έχουμε φθάσει σε μια βασική πτυχή της θεωρίας των τυχαίων περιόδων: οι τυπικές κλίμακες απόκλισης (αυξήσεις) σε σχέση με την τετραγωνική ρίζα του χρόνου. Συνεπώς, εάν η ημερήσια τυπική απόκλιση είναι 1, 1% και εάν υπάρχουν 250 ημέρες διαπραγμάτευσης σε ένα χρόνο, η ετήσια τυπική απόκλιση είναι η ημερήσια τυπική απόκλιση 1, 1% πολλαπλασιαζόμενη με την τετραγωνική ρίζα 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%). . Γνωρίζοντας αυτό, μπορούμε να εξισορροπήσουμε τις τυπικές αποκλίσεις διαστήματος για το S & P 500 πολλαπλασιάζοντας με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των διαστημάτων σε ένα χρόνο:

Μια άλλη θεωρητική ιδιότητα της αστάθειας μπορεί ή δεν μπορεί να σας εκπλήξει: διαβρώνει τις επιστροφές. Αυτό οφείλεται στην βασική υπόθεση της ιδέας τυχαίου βάδισης: ότι οι αποδόσεις εκφράζονται σε ποσοστά. Φανταστείτε ότι ξεκινάτε με $ 100 και κερδίζετε 10% για να λάβετε $ 110. Στη συνέχεια, χάνετε το 10%, το οποίο σας δίνει $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Τότε κερδίζετε 10% πάλι, σε καθαρό $ 108, 90 ($ 99 x 110% = 108, 9 δολάρια). Τέλος, χάνετε το 10% στα καθαρά $ 98, 01. Μπορεί να είναι αντίθετο-διαισθητικό, αλλά ο κύριος σας είναι αργά διαβρώνοντας παρόλο που το μέσο κέρδος σας είναι 0%!

Εάν, για παράδειγμα, αναμένετε μέσο ετήσιο κέρδος 10% ετησίως (δηλαδή αριθμητικό μέσο όρο), αποδεικνύεται ότι το μακροπρόθεσμα αναμενόμενο κέρδος σας είναι κάτι λιγότερο από 10% ετησίως. Στην πραγματικότητα, θα μειωθεί κατά περίπου το ήμισυ της διακύμανσης (όπου η διακύμανση είναι η τυπική τετραγωνική απόκλιση). Στο καθαρό υποθετικό παρακάτω, ξεκινάμε με $ 100 και στη συνέχεια φανταστείτε την πενταετία αστάθειας για να τελειώσει με $ 157:

Οι μέσες ετήσιες αποδόσεις κατά τα πέντε έτη ήταν 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%).

(CAGR, ή γεωμετρική απόδοση) είναι μια πιο ακριβής μέτρηση του

, και ήταν μόνο 9, 49%. Η μεταβλητότητα κατέστρεψε το αποτέλεσμα και η διαφορά είναι περίπου η μισή από τη διακύμανση του 1, 1%. Τα αποτελέσματα αυτά δεν προέρχονται από ένα ιστορικό παράδειγμα, αλλά από την άποψη των προσδοκιών, δεδομένης μιας τυπικής απόκλισης

(η διακύμανση είναι το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης,

^ 2) και ένα αναμενόμενο μέσο κέρδος της

, η αναμενόμενη ετήσια απόδοση είναι περίπου

- (

^ 2 ÷ 2).

Επιστρέφει καλά-Behaved "> Nasdaq παρακάτω (περίπου 2.500 καθημερινές παρατηρήσεις):

Όπως μπορείτε να περιμένετε, η μεταβλητότητα της Nasdaq (ετήσια τυπική απόκλιση 28, 8%) είναι μεγαλύτερη από τη μεταβλητότητα του S & P 500 (ετήσια τυπική απόκλιση στο 18, 1%). Μπορούμε να παρατηρήσουμε δύο διαφορές μεταξύ της κανονικής κατανομής και των πραγματικών αποδόσεων. Πρώτον, οι πραγματικές αποδόσεις έχουν ψηλότερες κορυφές - που σημαίνει μεγαλύτερη υπεραξία απόδοσης κοντά στον μέσο όρο. Δεύτερον, οι πραγματικές αποδόσεις έχουν παχύτερες ουρές. (Τα ευρήματά μας ευθυγραμμίζονται κάπως με πιο εκτεταμένες ακαδημαϊκές μελέτες, οι οποίες επίσης τείνουν να βρουν ψηλές κορυφές και ουρές λίπους · ο τεχνικός όρος για αυτό είναι η κούρτωση). Ας υποθέσουμε ότι θεωρούμε μείον τρεις τυπικές αποκλίσεις μεγάλη απώλεια: το S & P 500 αντιμετώπισε καθημερινή απώλεια μείον τρεις τυπικές αποκλίσεις περίπου στο -3, 4% του χρόνου. Η κανονική καμπύλη προβλέπει ότι μια τέτοια απώλεια θα συμβεί περίπου τρεις φορές μέσα σε 10 χρόνια, αλλά στην πραγματικότητα συνέβη 14 φορές!

Αυτές είναι οι κατανομές των ξεχωριστών αποδόσεων, αλλά τι λέει η θεωρία για τις αποδόσεις με την πάροδο του χρόνου "> η μέση ετήσια απόδοση (τα τελευταία 10 χρόνια) ήταν περίπου 10, 6% και, όπως αναφέρθηκε, η ετήσια μεταβλητότητα ήταν 18, 1%. δοκιμάζοντας ξεκινώντας από τα 100 δολάρια και κρατώντας την πάνω από 10 χρόνια, αλλά εκθέτουμε την επένδυση κάθε χρόνο σε ένα τυχαίο αποτέλεσμα που ήταν κατά μέσο όρο 10, 6% με μια τυπική απόκλιση 18, 1%, η οποία έγινε 500 φορές, καθιστώντας το αποκαλούμενο Monte Carlo Η τελική τιμή των 500 δοκιμών εμφανίζεται παρακάτω:

Μια κανονική κατανομή εμφανίζεται ως σκηνικό μόνο για να επισημανθούν τα πολύ μη κανονικά αποτελέσματα των τιμών. Τεχνικά, τα τελικά αποτελέσματα των τιμών είναι φυσιολογικά (δηλαδή αν ο άξονας x μετατραπεί σε φυσικό ημερολόγιο του x, η κατανομή θα φαίνεται πιο φυσιολογική). Το θέμα είναι ότι πολλά αποτελέσματα των τιμών είναι κατά προσέγγιση προς τα δεξιά: από τις 500 δοκιμές, τα έξι αποτελέσματα οδήγησαν σε ένα αποτέλεσμα $ 700 στο τέλος της περιόδου! Αυτά τα πολύτιμα λίγα αποτελέσματα κατάφεραν να κερδίσουν πάνω από 20% κατά μέσο όρο, κάθε χρόνο, πάνω από 10 χρόνια. Από την αριστερή πλευρά, επειδή μια μειούμενη ισορροπία μειώνει τις σωρευτικές επιπτώσεις των ποσοστιαίων ζημιών, πήραμε μόνο μια χούφτα τελικών αποτελεσμάτων που ήταν λιγότερα από $ 50. Για να συνοψίσουμε μια δύσκολη ιδέα, μπορούμε να πούμε ότι οι επιστροφές κατά διαστήματα - εκπεφρασμένες σε ποσοστιαίες μονάδες - κατανέμονται κανονικά, αλλά τα τελικά αποτελέσματα των τιμών καταγράφονται κανονικά.

ΔΕΙΤΕ: Πολυπαραγοντικά μοντέλα: Η ανάλυση Monte Carlo

Τέλος, μια άλλη διαπίστωση των δοκιμών μας είναι συνεπής με τις "επιπτώσεις διάβρωσης" της μεταβλητότητας: αν η επένδυσή σας κέρδισε ακριβώς τον μέσο όρο κάθε χρόνο, θα κρατούσατε περίπου 273 δολάρια στο τέλος (10, 6% αναμειγμένα σε 10 χρόνια). Αλλά σε αυτό το πείραμα, το συνολικό μας αναμενόμενο κέρδος ήταν πιο κοντά στα $ 250. Με άλλα λόγια, το μέσο (αριθμητικό) ετήσιο κέρδος ήταν 10, 6%, αλλά το σωρευτικό (γεωμετρικό) κέρδος ήταν μικρότερο.

Είναι κρίσιμο να έχουμε κατά νου ότι η προσομοίωση μας αναλαμβάνει μια τυχαία πορεία: υποθέτει ότι οι αποδόσεις από μια περίοδο στην άλλη είναι εντελώς ανεξάρτητες. Δεν το έχουμε αποδείξει με κανένα τρόπο και δεν είναι μια τετριμμένη υπόθεση. Εάν πιστεύετε ότι οι επιστροφές ακολουθούν τις τάσεις, λέτε τεχνικά ότι δείχνουν θετική σειριακή συσχέτιση. Αν νομίζετε ότι θα επανέλθουν στο μέσο, ​​τότε τεχνικά λέτε ότι δείχνουν αρνητική σειριακή συσχέτιση. Ούτε η στάση είναι σύμφωνη με την ανεξαρτησία.

Η κατώτατη γραμμή
Η μεταβλητότητα είναι η ετήσια τυπική απόκλιση των αποδόσεων. Στο παραδοσιακό θεωρητικό πλαίσιο, δεν μετρά μόνο τον κίνδυνο, αλλά επηρεάζει την προσδοκία μακροπρόθεσμων (πολλαπλών περιόδων) επιστροφών. Ως εκ τούτου, μας ζητά να δεχτούμε τις αμφίβολες υποθέσεις ότι οι επιστροφές μεταξύ διαστημάτων κατανέμονται κανονικά και ανεξάρτητα. Αν αυτές οι υποθέσεις είναι αληθινές, η υψηλή μεταβλητότητα είναι ένα δίκοπο σπαθί: διαβρώνει την αναμενόμενη μακροπρόθεσμη απόδοση (μειώνει τον αριθμητικό μέσο όρο στον γεωμετρικό μέσο όρο), αλλά σας παρέχει περισσότερες πιθανότητες να κάνετε μερικά μεγάλα κέρδη.

SEE: Σιωπηρή μεταβλητότητα: Αγορά χαμηλή και πωλούν υψηλά