Κατανόηση της χρονικής αξίας των χρημάτων

Συγχαρητήρια!!! Έχετε κερδίσει χρηματικό έπαθλο! Έχετε δύο επιλογές πληρωμής: A: Λάβετε $ 10, 000 τώρα ή B: Λάβετε $ 10, 000 σε τρία χρόνια. Ποια επιλογή θα επιλέγατε;

Ποια είναι η χρονική αξία των χρημάτων;

Εάν είστε σαν τους περισσότερους ανθρώπους, θα επιλέξετε να λάβετε τα 10.000 δολάρια τώρα. Μετά από όλα, τρία χρόνια είναι πολύς χρόνος για να περιμένετε. Γιατί ένας λογικός άνθρωπος θα καθυστερήσει την πληρωμή στο μέλλον, όταν αυτός ή αυτή θα μπορούσε να έχει το ίδιο ποσό τώρα; Για τους περισσότερους από εμάς, η λήψη των χρημάτων στο παρόν είναι απλά ενστικτώδης. Έτσι στο πιο βασικό επίπεδο, η χρονική αξία του χρήματος αποδεικνύει ότι όλα τα πράγματα είναι ίσα, φαίνεται καλύτερα να έχουμε χρήματα τώρα και όχι αργότερα.

Αλλά γιατί είναι αυτό; Ένας λογαριασμός $ 100 έχει την ίδια αξία με ένα νομοσχέδιο $ 100 ένα χρόνο από τώρα, έτσι δεν είναι; Στην πραγματικότητα, αν και το νομοσχέδιο είναι το ίδιο, μπορείτε να κάνετε πολλά περισσότερα με τα χρήματα αν το έχετε τώρα επειδή με την πάροδο του χρόνου μπορείτε να κερδίσετε μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τα χρήματά σας.

Επιστροφή στο παράδειγμά μας: Λαμβάνοντας σήμερα 10.000 δολάρια, είστε έτοιμοι να αυξήσετε τη μελλοντική αξία των χρημάτων σας επενδύοντας και κερδίζοντας ενδιαφέρον για ένα χρονικό διάστημα. Για την επιλογή Β, δεν έχετε χρόνο στην πλευρά σας και η πληρωμή που θα λάβετε σε τρία χρόνια θα είναι η μελλοντική σας αξία. Για να το δείξουμε, έχουμε παράσχει ένα χρονοδιάγραμμα:

Εάν επιλέγετε την Επιλογή Α, η μελλοντική σας αξία θα είναι 10.000 $ συν τους τόκους που αποκτήθηκαν κατά τη διάρκεια των τριών ετών. Η μελλοντική αξία για την επιλογή Β, από την άλλη πλευρά, θα ήταν μόνο 10.000 δολάρια. Πώς μπορείτε λοιπόν να υπολογίσετε πόση περισσότερη επιλογή Α αξίζει σε σύγκριση με την επιλογή Β; Ας ΡΙΞΟΥΜΕ μια ΜΑΤΙΑ.

Στοιχεία μελλοντικής αξίας

Εάν επιλέξετε την επιλογή Α και επενδύσετε το συνολικό ποσό με απλό ετήσιο συντελεστή 4, 5%, η μελλοντική αξία της επένδυσής σας στο τέλος του πρώτου έτους είναι $ 10, 450. Καταλήγουμε σε αυτό το ποσό πολλαπλασιάζοντας το αρχικό ποσό των 10.000 δολαρίων με το επιτόκιο 4, 5% και στη συνέχεια προσθέτοντας τους τόκους που αντλήθηκαν από το ποσό του κεφαλαίου:

$ 10.000 × 0.045 = 450 $ \ begin {aligned} & $ 10.000 \ times 0.045 = \ $ 450 \\ \ end {aligned} $ 10.000 × 0.045 = $ 450

$ 450 + $ 10, 000 = 10.450 $ \ begin {aligned} & $ 450 + $ 10, 000 = $ 10, 450 \ end {aligned $ 450 + $ 10, 000 = $ 10, 450

Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το συνολικό ποσό μιας επένδυσης ενός έτους με ένα απλό χειρισμό της παραπάνω εξίσωσης:

OE = (10.000 × 0.045) + 10.000 $ = 10.450 $ όπου: OE = αρχική εξίσωση \ begin {aligned} & \ text {OE} = ($ 10.000 \ times 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450 \\ & \ textbf {where : \\ & \ text {OE} = \ κείμενο {Original equation} \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} OE = ($ 10.000 × 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450where:

Χειρισμός = $ 10.000 × [(1 × 0.045) +1] = $ 10.450 \ begin {aligned} & \ text {Manipulation} = \ $ 10, 000 \ times [ ευθυγραμμισμένο} Χειρισμός = $ 10.000 × [(1 × 0.045) +1] = $ 10.450

Τελική εξίσωση = $ 10.000 × (0.045 + 1) = $ 10.450 \ begin {aligned} & \ text {Τελική Εξίσωση} = $ 10.000 \ times (0.045 + 1) = $ 10.450 \ × (0.045 + 1) = $ 10.450

Η παραπάνω εξηρτημένη εξίσωση είναι απλά μια αφαίρεση της ίδιας μεταβλητής $ 10.000 (το κύριο ποσό) διαιρώντας ολόκληρη την αρχική εξίσωση κατά 10.000 $.

Εάν τα 10.450 δολάρια που απομένουν στον επενδυτικό λογαριασμό σας στο τέλος του πρώτου έτους παραμείνουν άθικτα και τα επενδύσατε στο 4, 5% για ένα ακόμη έτος, πόσα θα είχατε; Για να το υπολογίσετε, θα πάρετε τα $ 10, 450 και θα το πολλαπλασιάσετε ξανά κατά 1, 045 (0, 045 +1). Μετά από δύο χρόνια, θα έχετε $ 10.920, 25.

Υπολογισμός μελλοντικής αξίας

Ο παραπάνω υπολογισμός, τότε, είναι ισοδύναμος με την ακόλουθη εξίσωση:

Μελλοντική αξία = 10.000 $ × (1 + 0.045) × (1 + 0.045) \ begin {ευθυγραμμισμένο} & \ text {Future Value} = $ 10, 000 \ times {aligned} Μελλοντική αξία = $ 10.000 × (1 + 0.045) × (1 + 0.045)

Σκεφτείτε πάλι την τάξη των μαθηματικών και τον κανόνα των εκθετών, που δηλώνει ότι ο πολλαπλασιασμός όμοιων όρων ισοδυναμεί με την προσθήκη των εκθετών τους. Στην παραπάνω εξίσωση, οι δύο όμοιοι όροι είναι (1+ 0, 045) και ο εκθέτης σε κάθε είναι ίσος με 1. Επομένως, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Μελλοντική αξία = $ 10.000 × (1 + 0.045) 2 \ begin {aligned} & \ text {Future Value} = $ 10.000 \ times 1 + 0, 045) 2

Μπορούμε να δούμε ότι ο εκθέτης είναι ίσος με τον αριθμό των ετών για τα οποία τα χρήματα κερδίζουν ενδιαφέρον για μια επένδυση. Έτσι, η εξίσωση για τον υπολογισμό της τριετούς μελλοντικής αξίας της επένδυσης θα φαινόταν έτσι:

Μελλοντική αξία = 10.000 $ × (1 + 0.045) 3 \ begin {aligned} & \ text {Future Value} = 10.000 $ { 1 + 0, 045) 3

Ωστόσο, δεν χρειάζεται να συνεχίσουμε να υπολογίζουμε τη μελλοντική αξία μετά το πρώτο έτος, τότε το δεύτερο έτος, μετά το τρίτο έτος και ούτω καθεξής. ¶Μπορείτε να το καταλάβετε όλα ταυτόχρονα, να το πω έτσι. Εάν γνωρίζετε το τρέχον χρηματικό ποσό που έχετε σε μια επένδυση, το ποσοστό απόδοσής της και πόσα χρόνια επιθυμείτε να διατηρήσετε αυτήν την επένδυση, μπορείτε να υπολογίσετε τη μελλοντική αξία (FV) αυτού του ποσού. Αυτό γίνεται με την εξίσωση:

FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Μελλοντική τιμήPV = Παρούσα αξία (αρχικό χρηματικό ποσό) i = {PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {FV} αρχική ποσότητα χρήματος}} \\ & i = \ text {Επιτόκιο ανά περίοδο} \\ & n = \ text {Αριθμός περιόδων} \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} FV = PV × (1 + i) Μελλοντική αξίαPV = Παρούσα αξία (αρχικό χρηματικό ποσό) i = Επιτόκιο ανά περίοδο = Αριθμός περιόδων

Βασικά βασικά στοιχεία αξίας

Εάν λάβατε σήμερα 10.000 δολάρια, η τρέχουσα αξία της θα ήταν, φυσικά, 10.000 δολάρια, επειδή η σημερινή αξία είναι αυτό που σας προσφέρει η επένδυσή σας τώρα, αν το ξέρατε σήμερα. Εάν επρόκειτο να λάβετε 10.000 δολάρια σε ένα έτος, η παρούσα αξία του ποσού δεν θα ήταν 10.000 δολάρια, επειδή δεν το έχετε τώρα στο χέρι σας, στο παρόν.

Για να βρείτε την παρούσα αξία των 10.000 δολαρίων που θα λάβετε στο μέλλον, πρέπει να προσποιείτε ότι τα 10.000 δολάρια είναι η συνολική μελλοντική αξία ενός ποσού που επενδύσατε σήμερα. Με άλλα λόγια, για να βρούμε την παρούσα αξία των μελλοντικών 10.000 δολαρίων, πρέπει να μάθουμε πόσα θα έπρεπε να επενδύσουμε σήμερα για να λάβουμε αυτά τα 10.000 δολάρια σε ένα χρόνο.

Για να υπολογίσετε την παρούσα αξία ή το ποσό που θα έπρεπε να επενδύσουμε σήμερα, πρέπει να αφαιρέσετε το (υποθετικό) συσσωρευμένο ενδιαφέρον από τα 10.000 δολάρια. Για να επιτευχθεί αυτό, μπορούμε να εκπτώσουμε το ποσό της μελλοντικής πληρωμής (10.000 $) με το επιτόκιο της περιόδου. Στην ουσία, το μόνο που κάνετε είναι να αναδιατάξετε τη μελλοντική εξίσωση τιμών παραπάνω, ώστε να μπορείτε να λύσετε την παρούσα αξία (PV). Η παραπάνω εξίσωση μελλοντικής τιμής μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

(1 + i) n \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} PV = FV (1 + i) n \ (1 + i) nFV

Μια εναλλακτική εξίσωση θα ήταν:

PV = FV × (1 + i) -που: PV = παρούσα αξία (αρχικό χρηματικό ποσό) FV = μελλοντική τιμήi = επιτόκιο ανά περιοδικό = {FV} \ φορές (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {PV} = \ text { {FV} = \ text {Future value} \\ & i = \ text {Επιτόκιο ανά περίοδο} \\ & n = \ text {Αριθμός περιόδων} \\ \ -Που: PV = Παρούσα αξία (αρχικό χρηματικό ποσό) FV = Μελλοντική αξίαi = Επιτόκιο ανά περίοδο n = Αριθμός περιόδων

Υπολογισμός της τρέχουσας τιμής

Ας βαδίσουμε πίσω από τα 10.000 δολάρια που προσφέρονται στην επιλογή Β. Να θυμάστε ότι τα 10.000 δολάρια που θα ληφθούν σε τρία χρόνια είναι πραγματικά ίδια με τη μελλοντική αξία μιας επένδυσης. Εάν είχαμε ένα χρόνο να πάμε πριν πάρουμε τα χρήματα, θα έκπτωση της πληρωμής πίσω ένα χρόνο. Χρησιμοποιώντας τον παρόντα τύπο αξίας (έκδοση 2), με την τρέχουσα διετή βαθμολογία, η παρούσα αξία των $ 10.000 που θα ληφθούν σε ένα έτος θα είναι 10.000 $ x (1 + .045) ^-1 = $ 9569.38.

Σημειώστε ότι εάν σήμερα βρισκόμασταν στο σημάδι ενός έτους, τα παραπάνω 9.569, 38 δολάρια θα θεωρούσαν τη μελλοντική αξία της επένδυσής μας ένα χρόνο από τώρα.

Συνεχίζοντας, στο τέλος του πρώτου έτους αναμένουμε να λάβουμε την πληρωμή των 10.000 δολαρίων σε δύο χρόνια. Με επιτόκιο 4, 5%, ο υπολογισμός για την παρούσα αξία μιας πληρωμής $ 10, 000 που αναμένεται σε δύο χρόνια θα ήταν $ 10.000 x (1 + .045) ^-2 = $ 9157.30.

Φυσικά, λόγω του κανόνα των εκθετών, δεν χρειάζεται να υπολογίζουμε τη μελλοντική αξία της επένδυσης κάθε χρόνο, υπολογίζοντας πίσω από την επένδυση των 10.000 δολαρίων κατά το τρίτο έτος. Θα μπορούσαμε να θέσουμε την εξίσωση πιο συνοπτικά και να χρησιμοποιήσουμε τα 10.000 δολάρια ως FV. Έτσι, μπορείτε να υπολογίσετε τη σημερινή σημερινή αξία των $ 10.000 που αναμένεται από τριετή επένδυση που κερδίζει 4, 5%:

$ 8.762, 97 = $ 10.000 × (1 + .045) -3 \ begin {aligned} $ 8.762.97 = $ 10.000 \ times (1 + .045) ^ { 1 + .045) -3

Έτσι, η παρούσα αξία μιας μελλοντικής πληρωμής $ 10.000 ανέρχεται σήμερα σε 8.762, 97 δολάρια, αν τα επιτόκια είναι 4, 5% ετησίως. Με άλλα λόγια, η επιλογή της επιλογής Β είναι σαν να έχετε πάρει $ 8, 762.97 τώρα και στη συνέχεια να την επενδύσετε για τρία χρόνια. Οι παραπάνω εξισώσεις δείχνουν ότι η Επιλογή Α είναι καλύτερη όχι μόνο επειδή σας προσφέρει χρήματα αυτή τη στιγμή αλλά επειδή σας προσφέρει $ 1.237, 03 ($ 10.000 - $ 8.762.97) περισσότερα σε μετρητά! Επιπλέον, αν επενδύσετε τα 10.000 δολάρια που λαμβάνετε από την Επιλογή Α, η επιλογή σας θα σας δώσει μια μελλοντική αξία μεγαλύτερη από την μελλοντική αξία της Επιλογή Β ύψους $ 1.411, 66 ($ 11.411.66 - $ 10.000).

Παρούσα αξία μελλοντικής πληρωμής

Ας προχωρήσουμε στην προσφορά μας. Τι γίνεται αν η μελλοντική πληρωμή είναι μεγαλύτερη από το ποσό που θα λάβατε αμέσως; Ας υποθέσουμε ότι θα μπορούσατε να λάβετε $ 15.000 σήμερα ή $ 18.000 σε τέσσερα χρόνια. Η απόφαση είναι τώρα πιο δύσκολη. Εάν επιλέξετε να λάβετε 15.000 δολάρια σήμερα και να επενδύσετε ολόκληρο το ποσό, μπορείτε να καταλήξετε πραγματικά με ένα χρηματικό ποσό σε τέσσερα χρόνια που είναι μικρότερο από $ 18.000.

Πώς να αποφασίσετε; Θα μπορούσατε να βρείτε τη μελλοντική αξία των $ 15.000, αλλά δεδομένου ότι ζούμε πάντα στο παρόν, ας βρούμε την παρούσα αξία των $ 18.000. Αυτή τη φορά, θα υποθέσουμε ότι τα επιτόκια είναι σήμερα 4%. Θυμηθείτε ότι η εξίσωση για την παρούσα τιμή είναι η ακόλουθη:

PV = FV × (1 + i) -n \ begin {ευθυγραμμισμένο} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times = FVx (1 + i) -n

Στην παραπάνω εξίσωση, το μόνο που κάνουμε είναι η προεξόφληση της μελλοντικής αξίας μιας επένδυσης. Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω αριθμούς, η παρούσα αξία μιας πληρωμής $ 18.000 σε τέσσερα χρόνια υπολογίζεται ως $ 18.000 x (1 + 0.04) ^-4 = $ 15.386, 48.

Από τον παραπάνω υπολογισμό, τώρα γνωρίζουμε ότι σήμερα η επιλογή μας είναι να επιλέξουμε $ 15.000 ή $ 15.386, 48. Φυσικά, θα πρέπει να επιλέξουμε να αναβάλουμε την πληρωμή για τέσσερα χρόνια!

Η κατώτατη γραμμή

Αυτοί οι υπολογισμοί καταδεικνύουν ότι ο χρόνος κυριολεκτικά είναι χρήμα - η αξία των χρημάτων που έχετε τώρα δεν είναι η ίδια όπως θα είναι στο μέλλον και αντίστροφα. Επομένως, είναι σημαντικό να γνωρίζετε πώς μπορείτε να υπολογίσετε την χρονική αξία του χρήματος ώστε να μπορείτε να διακρίνετε μεταξύ της αξίας των επενδύσεων που σας προσφέρουν επιστροφές σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. (Για σχετική ανάγνωση, βλ. "Χρόνος Αξίας Χρημάτων και Δολάριο")