Χρησιμοποιώντας μεθόδους διανομής πιθανών κοινών αποθεμάτων

Σχεδόν ανεξάρτητα από την άποψή σας σχετικά με την προβλεψιμότητα ή την αποτελεσματικότητα των αγορών, πιθανότατα θα συμφωνήσετε ότι για τα περισσότερα περιουσιακά στοιχεία, οι εγγυημένες αποδόσεις είναι αβέβαιες ή επικίνδυνες. Εάν παραβλέψουμε τα μαθηματικά που βασίζονται στις κατανομές πιθανοτήτων, μπορούμε να δούμε ότι είναι εικόνες που περιγράφουν μια συγκεκριμένη άποψη της αβεβαιότητας. Η κατανομή πιθανότητας είναι ένας στατιστικός υπολογισμός που περιγράφει την πιθανότητα μια συγκεκριμένη μεταβλητή να πέσει ανάμεσα ή εντός συγκεκριμένης περιοχής σε ένα γράφημα σχεδίασης.

Η αβεβαιότητα αναφέρεται στην τυχαιότητα. Διαφέρει από την έλλειψη προβλεψιμότητας ή από την αναποτελεσματικότητα της αγοράς. Μια αναδυόμενη ερευνητική άποψη θεωρεί ότι οι χρηματοπιστωτικές αγορές είναι αμφότερες αβέβαιες και προβλέψιμες. Επίσης, οι αγορές μπορούν να είναι αποτελεσματικές αλλά και αβέβαιες.

Στη χρηματοδότηση, χρησιμοποιούμε κατανομές πιθανοτήτων για να σχεδιάζουμε εικόνες που απεικονίζουν την άποψή μας για την ευαισθησία μιας επιστροφής περιουσιακών στοιχείων όταν θεωρούμε ότι η απόδοση του περιουσιακού στοιχείου μπορεί να θεωρηθεί τυχαία μεταβλητή. Σε αυτό το άρθρο, θα αναφερθούμε σε μερικές από τις πιο δημοφιλείς κατανομές πιθανότητας και θα σας δείξουμε πώς να τις υπολογίζετε.

Οι κατανομές μπορούν να ταξινομηθούν είτε ως διακριτές είτε ως συνεχείς και από το αν πρόκειται για μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) ή μια σωρευτική κατανομή.

Διακριτές και συνεχείς διανομές

Διακριτή αναφέρεται σε μια τυχαία μεταβλητή που προέρχεται από ένα πεπερασμένο σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων. Ένας έξι όψεος, για παράδειγμα, έχει έξι ξεχωριστά αποτελέσματα. Μια συνεχής κατανομή αναφέρεται σε μια τυχαία μεταβλητή που προέρχεται από ένα άπειρο σύνολο. Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών περιλαμβάνουν την ταχύτητα, την απόσταση και ορισμένες επιστροφές στοιχείων ενεργητικού. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή απεικονίζεται τυπικά με κουκκίδες ή παύλες, ενώ μια συνεχής μεταβλητή απεικονίζεται με μία σταθερή γραμμή. Το σχήμα 1 δείχνει διακεκριμένες και συνεχείς κατανομές για κανονική κατανομή με μέση (αναμενόμενη τιμή) 50 και τυπική απόκλιση 10:

Φιγούρα 1

Η κατανομή είναι μια προσπάθεια να καταγραφεί η αβεβαιότητα. Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα των 50 είναι το πιο πιθανό, αλλά μόνο θα συμβεί περίπου το 4% του χρόνου. το αποτέλεσμα των 40 είναι μία τυπική απόκλιση κάτω από τον μέσο όρο και θα συμβεί λίγο κάτω από το 2, 5% του χρόνου.

Πιθανότητα Πυκνότητας έναντι Αθροιστικής Διανομής

Η άλλη διάκριση είναι μεταξύ της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (PDF) και της σωρευτικής λειτουργίας διανομής. Το PDF είναι η πιθανότητα η τυχαία μας μεταβλητή να φτάσει σε μια συγκεκριμένη τιμή (ή στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής, να πέσει μεταξύ ενός διαστήματος). Δείχνουμε ότι δείχνοντας την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή Χ να ισούται με μια πραγματική τιμή x:

P [x = X] \ begin {ευθυγραμμισμένο} & P [x = X] \\ \ end {ευθυγραμμισμένο} P [x =

Η σωρευτική κατανομή είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να είναι μικρότερη ή ίση με την πραγματική τιμή x:

P [x <= X] \ αρχίζει {ευθυγραμμισμένο} & P [x <= X]

ή το παράδειγμα, αν το ύψος σας είναι μια τυχαία μεταβλητή με αναμενόμενη τιμή 5'10 "ίντσες (το μέσο ύψος των γονιών σας), τότε η ερώτηση PDF είναι:" Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσετε σε ύψος 5'4 "" >

Το σχήμα 1 έδειξε δύο κανονικές κατανομές. Τώρα μπορείτε να δείτε αυτά τα γραφικά συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (PDF). Εάν επανασχεδιάσουμε την ίδια κατανομή με μια σωρευτική διανομή, θα λάβουμε τα εξής:

Σχήμα 2

Η σωρευτική κατανομή πρέπει τελικά να φθάσει το 1, 0 ή το 100% στον άξονα y. Αν σηκώσουμε αρκετά την μπάρα, τότε σε κάποιο σημείο σχεδόν όλα τα αποτελέσματα θα πέσουν κάτω από αυτήν την μπάρα (θα μπορούσαμε να πούμε ότι η διανομή είναι συνήθως ασυμπτωτική στο 1, 0).

Η χρηματοδότηση, μια κοινωνική επιστήμη, δεν είναι τόσο καθαρή όσο οι φυσικές επιστήμες. Η βαρύτητα, για παράδειγμα, έχει μια κομψή φόρμουλα από την οποία μπορούμε να βασιζόμαστε ξανά και ξανά. Οι επιστροφές χρηματικών περιουσιακών στοιχείων, από την άλλη πλευρά, δεν μπορούν να αναπαραχθούν τόσο σταθερά. Ένα τεράστιο ποσό χρήματος έχει χαθεί με τα χρόνια από έξυπνους ανθρώπους που συγχέουν τις ακριβείς διανομές (δηλαδή, σαν να προέρχονται από τις φυσικές επιστήμες) με τις βρώμικες, αναξιόπιστες προσεγγίσεις που προσπαθούν να απεικονίσουν οικονομικές αποδόσεις. Στη χρηματοδότηση, οι κατανομές πιθανοτήτων είναι λίγο περισσότερο από τις ακατέργαστες εικονογραφικές παραστάσεις.

Ομοιόμορφη κατανομή

Η απλούστερη και πιο δημοφιλής διανομή είναι η ομοιόμορφη κατανομή, στην οποία όλα τα αποτελέσματα έχουν ίσες πιθανότητες εμφάνισης. Ένας έξι όψεων έχει μια ομοιόμορφη κατανομή. Κάθε αποτέλεσμα έχει πιθανότητα περίπου 16, 67% (1/6). Το οικόπεδο που ακολουθεί δείχνει τη σταθερή γραμμή (ώστε να το βλέπετε καλύτερα), αλλά έχετε κατά νου ότι αυτή είναι μια διακριτή διανομή - δεν μπορείτε να κάνετε κύλιση 2, 5 ή 2, 11:

Σχήμα 3

Τώρα, κυλήστε δύο ζάρια μαζί, όπως φαίνεται στο σχήμα 4, και η διανομή δεν είναι πλέον ομοιόμορφη. Έχει κορυφές σε επτά, που τυχαίνει να έχει 16, 67% πιθανότητα. Στην περίπτωση αυτή, όλα τα άλλα αποτελέσματα είναι λιγότερο πιθανό:

Σχήμα 4

Τώρα, κυλήστε τρία ζάρια μαζί, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. Αρχίζουμε να βλέπουμε τα αποτελέσματα ενός πιο εκπληκτικού θεώρημα: το κεντρικό όριο όριο. Το κεντρικό οριακό όριο υπόσχεται με τόλμη ότι το άθροισμα ή ο μέσος όρος μιας σειράς ανεξάρτητων μεταβλητών θα τείνουν να κατανεμηθούν κανονικά, ανεξάρτητα από τη δική τους κατανομή . Τα ζάρια μας είναι ξεχωριστά ομοιόμορφα, αλλά τα συνδυάζουμε και - καθώς προσθέτουμε περισσότερα ζάρια - σχεδόν μαγικά το άθροισμα τους θα τείνει προς την οικεία κανονική κατανομή.

Σχήμα 5

Διωνυμική κατανομή

Η διωνυμική κατανομή αντικατοπτρίζει μια σειρά από "είτε / ή" δοκιμές, όπως μια σειρά κερμάτων νομισμάτων. Αυτές ονομάζονται δοκιμές Bernoulli - οι οποίες αναφέρονται σε γεγονότα που έχουν μόνο δύο αποτελέσματα - αλλά δεν χρειάζεστε ακόμη και (50/50) πιθανότητες. Η διωνυμική κατανομή κάτω από το διάγραμμα αναπαριστά μια σειρά από 10 κέρματα όπου η πιθανότητα των κεφαλών είναι 50% (ρ-0.5). Μπορείτε να δείτε στο Σχήμα 6 ότι η πιθανότητα να στρέψετε ακριβώς πέντε κεφάλια και πέντε ουρές (η σειρά δεν έχει σημασία) είναι μόνο ντροπαλός του 25%:

Σχήμα 6

Αν η διωνυμική κατανομή φαίνεται κανονική σε εσάς, έχετε δίκιο γι 'αυτό. Καθώς ο αριθμός των δοκιμών αυξάνεται, το διωνυμικό τείνει προς την κανονική κατανομή.

Lognormal Διανομή

Η λογαριθμική κατανομή είναι πολύ σημαντική στη χρηματοδότηση επειδή πολλά από τα πιο δημοφιλή μοντέλα υποθέτουν ότι οι τιμές των μετοχών κατανέμονται κανονικά. Είναι εύκολο να συγχέουμε τις επιστροφές στοιχείων με τα επίπεδα τιμών.

Οι αποδόσεις των περιουσιακών στοιχείων αντιμετωπίζονται συχνά ως κανονικές - ένα απόθεμα μπορεί να αυξηθεί κατά 10% ή χαμηλότερα κατά 10%. Τα επίπεδα τιμών αντιμετωπίζονται συχνά ως φυσιολογικά - ένα απόθεμα των $ 10 μπορεί να φτάσει τα $ 30 αλλά δεν μπορεί να μειωθεί στα - $ 10. Η λογαριθμική κατανομή είναι μη μηδενική και στρεβλωμένη προς τα δεξιά (και πάλι, ένα απόθεμα δεν μπορεί να πέσει κάτω από το μηδέν αλλά δεν έχει θεωρητικό όριο προς τα πάνω):

Σχήμα 7

Poisson

Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις πιθανότητες ενός συγκεκριμένου γεγονότος (π.χ. ημερήσια απώλεια χαρτοφυλακίου κάτω του 5%) που εμφανίζεται σε ένα χρονικό διάστημα. Έτσι, στο παρακάτω παράδειγμα, υποθέτουμε ότι κάποια επιχειρησιακή διαδικασία έχει ποσοστό σφάλματος 3%. Υπολογίζουμε επίσης 100 τυχαίες δοκιμές. η κατανομή Poisson περιγράφει την πιθανότητα να πάρει ένα συγκεκριμένο αριθμό σφαλμάτων σε κάποια χρονική περίοδο, όπως μια μέρα.

Σχήμα 8

Τ. Του σπουδαστή

Η διανομή Τ του φοιτητή είναι επίσης πολύ δημοφιλής επειδή έχει μια ελαφρώς "παχύτερη ουρά" από την κανονική κατανομή. Το T χρησιμοποιείται συνήθως όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό (δηλαδή μικρότερο από 30). Στη χρηματοδότηση, η αριστερή ουρά αντιπροσωπεύει τις απώλειες. Επομένως, εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό, τολμάμε να υποτιμήσουμε τις πιθανότητες μιας μεγάλης απώλειας. Η πιο παχιά ουρά στο Τ του φοιτητή θα μας βοηθήσει εδώ. Ακόμα κι έτσι, συμβαίνει ότι η ουδέτερη ουρά αυτής της διανομής συχνά δεν είναι αρκετά λίπος. Οι οικονομικές αποδόσεις τείνουν να παρουσιάζουν, σε σπάνια καταστροφική περίπτωση, πραγματικές απώλειες σωματικού λίπους (δηλ. Πιο λιτές από τις προβλεπόμενες από τις κατανομές). Μεγάλα ποσά έχουν χαθεί καθιστώντας αυτό το σημείο.

Σχήμα 9

Διανομή Beta

Τέλος, η διανομή βήτα (που δεν πρέπει να συγχέεται με την παράμετρο beta στο μοντέλο τιμολόγησης ενεργητικού κεφαλαίου) είναι δημοφιλής σε μοντέλα που εκτιμούν τα ποσοστά ανάκτησης των χαρτοφυλακίων ομολόγων. Η κατανομή βήτα είναι ο φορέας κοινής χρήσης των διανομών. Όπως και το φυσιολογικό, χρειάζεται μόνο δύο παράμετροι (άλφα και βήτα), αλλά μπορούν να συνδυαστούν για αξιόλογη ευελιξία. Τέσσερις πιθανές κατανομές βήτα απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα 10:

Σχήμα 10

Η κατώτατη γραμμή

Όπως τόσες πολλές παπούτσια στο στατιστικό μας ντουλάπι παπουτσιών, προσπαθούμε να επιλέξουμε την καλύτερη δυνατή επιλογή για την περίσταση, αλλά δεν γνωρίζουμε πραγματικά τι μας κρατάει ο καιρός. Μπορούμε να επιλέξουμε μια κανονική διανομή και στη συνέχεια να ανακαλύψουμε ότι υποτιμά τις απώλειες στην αριστερή ουρά. έτσι ώστε να στραφούμε σε μια λοξή διανομή, μόνο για να βρούμε τα δεδομένα να φαίνονται πιο «κανονικά» στην επόμενη περίοδο. Το κομψό μαθηματικό από κάτω μπορεί να σας σαγηνεύσει στο να σκεφτείτε ότι αυτές οι διανομές αποκαλύπτουν μια βαθύτερη αλήθεια, αλλά είναι πιο πιθανό ότι είναι απλά ανθρώπινα αντικείμενα. Για παράδειγμα, όλες οι διανομές που εξετάσαμε είναι αρκετά ομαλές, αλλά ορισμένες αποδόσεις περιουσιακών στοιχείων μεταπηδούν ασυνεχείς.

Η κανονική κατανομή είναι πανταχού παρούσα και κομψή και απαιτεί μόνο δύο παραμέτρους (μέση τιμή και κατανομή). Πολλές άλλες κατανομές συγκλίνουν προς το φυσιολογικό (π.χ. διωνυμικό και Poisson). Ωστόσο, πολλές καταστάσεις, όπως οι επιστροφές κεφαλαίων κινδύνου, τα χαρτοφυλάκια πιστώσεων και τα σοβαρά περιστατικά ζημιών, δεν αξίζουν τις κανονικές διανομές.